In quanti modi può essere organizzato un mazzo di carte? È molto facile calcolare la risposta, ma molto difficile coglierne il significato.

Ci sono 52 carte. Quindi, il primo può essere scelto in 52 modi. Il prossimo può essere una qualsiasi delle restanti 51 carte. Per il terzo, ci sono 50 scelte, e così via fino a quando rimane solo una carta, lasciando solo la possibilità di metterlo per ultimo.

Pertanto, il numero totale di possibilità è

Questo numero è chiamato fattoriale 52. Dire che è un gran numero è un eufemismo. Il programma Mathematica può calcolare con precisione arbitraria e immettere il comando Fattoriale produce il seguente risultato:

In più compressa, notazione, questo è il , o semplicemente per fare una figura di precisione, ; cioè, 1 seguito da 68 zeri.

Descrizione 52!

È difficile illustrare la dimensione di in termini di qualcosa di pratico. La gente ha parlato del numero di gocce nell’oceano o di quanti granelli di sabbia riempirebbero il Grand Canyon. Questi numeri non si avvicinano a .

Il numero di atomi nell’universo osservabile è stimato in circa , che è un trilione di volte più grande di . Ma questo ci aiuta davvero a visualizzare com’è uno di questi numeri? L’articolo di Wikipedia sui nomi di grandi numeri descrive come un nonvigintillion. Quindi, è circa ottanta unvigintillion. Ma questo è solo un nome.

L’Universo ha secondi. Se una disposizione casuale di carte fosse scelta ogni secondo durante l’intera vita dell’Universo, solo una piccola frazione di tutti gli ordini possibili sarebbe selezionata. La possibilità che lo stesso ordine venga scelto due volte è assolutamente trascurabile. Anche se si scegliesse un miliardo di accordi ogni secondo, non ci sarebbe ancora alcuna reale possibilità di un duplicato.

Per una divertente descrizione dell’incredibile grandezza di , vederehttp://czep.net/weblog/52cards.html

Approssimazione di Stirling

Il calcolo del numero è semplice. Basta moltiplicare 52 per 51, il risultato per 50 e così via fino a raggiungere 1. Ma quanto è noioso e quanto è soggetto a errori!

C’è una bella espressione che dà un’approssimazione a qualsiasi fattoriale, dal nome di James Stirling (1692-1770), un matematico scozzese (anche se sembra che il risultato sia stato dichiarato in precedenza da Abraham de Moivre). L’approssimazione è

Questo è in realtà il primo termine in un’espansione asintotica. Prendendo il termine successivo abbiamo

Collegare l’argomento , la prima formula che non è corretto a 2 cifre decimali. La seconda formula dà, con errore relativo di una sola parte su un milione.

Un’altra approssimazione è stata trovata tra i documenti del matematico indiano Srinivasa Ramanujan e pubblicata nel suo Quaderno perduto nel 1988:

Questo dà a una parte su un miliardo.

Mischiare e ripetere gli ordini

Con un così vasto numero di possibilità, ci si potrebbe chiedere se un ordine scelto a caso di un mazzo di carte si verifica più di una volta. Facendo ipotesi molto ragionevoli, è facile sostenere che un particolare ordine non si verificherà mai due volte durante la vita dell’Universo. Così, quando si mescolano accuratamente le carte, si sono tenuti ad arrivare a un ordine che non è mai stato visto prima e non sarà mai più visto.

Tuttavia, c’è una grande riserva qui. Il rimescolamento delle carte deve essere sufficientemente accurato per garantire una vera randomizzazione. Studi matematici hanno indicato che un piccolo numero di rimescolamenti efficaci è sufficiente per mescolare il pacchetto in ordine casuale. Bayer e Diaconis (1992) hanno mostrato che dopo sette rimescolamenti casuali, uno qualsiasi dei 52! possibili configurazioni è altrettanto probabile.