Le funzioni di distribuzione non sono altro che le funzioni di densità di probabilità utilizzate per descrivere la probabilità con cui una particolare particella può occupare un particolare livello di energia. Quando parliamo della funzione di distribuzione di Fermi-Dirac, siamo particolarmente interessati a conoscere la possibilità con cui possiamo trovare un fermione in un particolare stato energetico di un atomo (maggiori informazioni su questo possono essere trovate nell’articolo “Stati di energia atomica”). Qui, per fermioni, intendiamo gli elettroni di un atomo che sono le particelle con ½ spin, legate al principio di esclusione di Pauli.

Necessità della funzione di distribuzione di Fermi Dirac

In campi come l’elettronica, un fattore particolare che è di primaria importanza è la conduttività dei materiali. Questa caratteristica del materiale è determinata dal numero di elettroni che sono liberi all’interno del materiale per condurre l’elettricità.

Secondo la teoria delle bande di energia (per maggiori informazioni consultare l’articolo “Bande di energia nei cristalli”), questi sono il numero di elettroni che costituiscono la banda di conduzione del materiale considerato. Quindi per avere un’idea sul meccanismo di conduzione, è necessario conoscere la concentrazione dei portatori nella banda di conduzione.

di Fermi Dirac Distribuzione Espressione

Matematicamente la probabilità di trovare un elettrone in stato di energia E alla temperatura T è espresso come

Dove,

è la costante di Boltzmann
T è la temperatura assoluta
Ef è il livello di Fermi o l’energia di Fermi

Ora, cerchiamo di capire il significato del livello di Fermi. Per ottenere ciò, inserire

nell’equazione (1). Così facendo, otteniamo,

Questo significa che il livello di Fermi è il livello al quale ci si può aspettare che l’elettrone sia presente esattamente il 50% delle volte.

Livello di Fermi nei semiconduttori

I semiconduttori intrinseci sono i semiconduttori puri che non hanno impurità in essi. Di conseguenza, sono caratterizzati da una uguale possibilità di trovare un buco come quella di un elettrone. Questo inturn implica che hanno il Fermi-level esattamente tra la conduzione e le bande di valenza come mostrato dalla Figura 1a.

Successivamente, considerare il caso di un semiconduttore di tipo N. Qui, ci si può aspettare più numero di elettroni per essere presenti rispetto ai fori. Ciò significa che c’è una maggiore possibilità di trovare un elettrone vicino alla banda di conduzione rispetto a quella di trovare un buco nella banda di valenza. Pertanto, questi materiali hanno il loro livello di Fermi situato più vicino alla banda di conduzione come mostrato nella Figura 1b.
Seguendo gli stessi motivi, ci si può aspettare che il livello di Fermi nel caso di semiconduttori di tipo p sia presente vicino alla banda di valenza (Figura 1c). Questo perché, questi materiali mancano di elettroni cioè hanno più numero di fori che rende la probabilità di trovare un buco nella banda di valenza più rispetto a quella di trovare un elettrone nella banda di conduzione.

Effetto della temperatura sulla funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

A T = 0 K, gli elettroni avranno energia bassa e quindi occuperanno stati di energia inferiori. Lo stato energetico più alto tra questi stati occupati è indicato come Fermi-level. Questo inturn significa che nessun stato di energia che si trovano al di sopra del livello di Fermi sono occupati da elettroni. Quindi abbiamo una funzione di passo che definisce la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac come mostrato dalla curva nera in Figura 2.
Tuttavia, all’aumentare della temperatura, gli elettroni guadagnano sempre più energia grazie alla quale possono persino salire alla banda di conduzione. Pertanto, a temperature più elevate, non è possibile distinguere chiaramente tra gli stati occupati e quelli non occupati come indicato dalle curve blu e rosse mostrate in Figura 2.