configurazione Fisica
il Nostro obiettivo è quello di fornire il massimo quantitativo limiti applicabili a qualsiasi procedura di raffreddamento—vale a dire, vogliamo trovare un limite inferiore per la temperatura che un sistema può raggiungere dopo ogni processo che utilizza determinate risorse o per la durata di alcuni dato tempo t. Pertanto, dobbiamo consentire la trasformazione quantistica più generale, cioè quelle che rispettano il risparmio energetico totale e sono microscopicamente reversibili (unitarie). Questa configurazione generale include protocolli termodinamicamente irreversibili e anche protocolli irrealistici in cui è richiesto il controllo totale dei gradi microscopici di libertà del bagno. Sorprendentemente, troveremo qui, come è stato trovato per il caso della seconda legge25,27,29,30, che avere un tale grado irrealistico di controllo non sembra dare un vantaggio rispetto ad avere un controllo molto rozzo.
Mostreremo che la densità degli stati del serbatoio che assiste il processo di raffreddamento ha un impatto importante sulla velocità con cui un sistema può essere raffreddato. (La densità degli stati Ω (E) è il numero di stati con energia E.) Vediamo che più velocemente Ω(E) cresce, minore è la temperatura che può essere raggiunta con risorse fisse o in una quantità fissa di tempo. Ancora di più: se Ω(E) cresce esponenzialmente o più velocemente, il raffreddamento a zero assoluto in tempo finito è in linea di principio possibile, consentendo una violazione della terza legge. Tuttavia, vedremo che Ω esponenziale o super-esponenziale (E) dovrebbe essere considerato non fisico. Questo diventa più intuitivo quando espresso in termini di capacità termica(micro-canonica) C(E), correlata a S(E)=ln Ω (E) tramite
dove i numeri primi rappresentano differenziali. Se Ω(E) cresce esponenzialmente o più velocemente, allora C (E) è infinito o negativo, che è considerato non fisico. Se Ω (E) è sub-esponenziale, allora C(E) è positivo. E, più veloce Ω (E) cresce, più grande è C(E). Solo un serbatoio con spazio di Hilbert a dimensione infinita può mantenere S (E) in crescita per tutti E. E in effetti, i serbatoi a dimensione infinita sono quelli che consentono un raffreddamento più rapido. Tuttavia, i nostri risultati sono generali e si applicano anche al caso finito-dimensionale.
Supponiamo di voler raffreddare un sistema quantistico con la dimensione dello spazio di Hilbert d e l’Hamiltoniana HS con degenerazione dello stato fondamentale g, gap sopra lo stato fondamentale Δ e la più grande energia J. Quali sono le risorse necessarie per farlo?
presupposti Fondamentali
Cerchiamo di specificare l’impostazione più concretamente e raccogliere le assunzioni di adottare (quelle che provengono dai principi primi):
(i) consideriamo l’inizio del processo, quando il sistema non è ancora stato messo in contatto con l’opera di sistema di archiviazione (il peso), né il serbatoio, in modo che, inizialmente, lo stato globale pS⊗pB⊗pW. Mentre altri scenario iniziale di partenza può essere di interesse, la sua considerazione è al di là della portata del documento corrente.
(ii) Consentiamo la trasformazione quantistica più generale su sistema, bagno e peso, che è reversibile (unitaria) e preserva l’energia totale. Ciò potrebbe apparire restrittivo rispetto ai paradigmi che consentono termini di interazione arbitrari, tuttavia questo non è il caso, poiché le interazioni arbitrarie possono essere incorporate nel modello come mostrato nell’Appendice H di ref. 27 e in ref. 25, semplicemente lasciando fluttuare l’energia del sistema di lavoro. In molti paradigmi, questo viene applicato implicitamente assumendo che tutta l’energia mancante sia contata come lavoro. I paradigmi che rilassano questa condizione essenzialmente ignorano l’energia trasferita ad altri sistemi, o trattano questi altri sistemi come classici. Essenzialmente, imponiamo il risparmio energetico per assicurarci di tenere adeguatamente conto di tutti i costi energetici associati all’interazione mentre i vari termini unitari o di interazione semplicemente trasferiscono o prendono energia dal peso per compensare. Il processo di raffreddamento è, quindi, una trasformazione della forma
dove U è globale e unitaria soddisfacente
(iii) Il lavoro che viene consumato entro la trasformazione è preso dal peso. Poiché siamo interessati alle limitazioni ultime, consideriamo un peso idealizzato con Hamiltoniano con spettro continuo e illimitato
. Qualsiasi altro sistema di lavoro può essere simulato con questo one30. Denotiamo con wmax il valore peggiore del lavoro consumato, cioè
wmax sarà generalmente molto più grande del lavoro medio W W〉. In qualsiasi processo fisicamente ragionevole effettuato in tempo finito, ci si aspetta che sia finito.
(iv) Abbiamo anche bisogno, come in ref. 29, che la trasformazione di raffreddamento commuta con le traduzioni sul peso. In altre parole, il funzionamento della macchina termica è indipendente dall’origine delle energie del peso, quindi dipende solo da quanto lavoro viene consegnato dal peso. Questo può essere inteso come la definizione di cosa sia il lavoro-è semplicemente il cambiamento di energia che possiamo indurre su qualche sistema esterno. Ciò garantisce anche che il peso sia solo un meccanismo per la consegna o lo stoccaggio del lavoro e non sia, ad esempio, un dump di entropia (vedere il risultato 1 nella discussione supplementare). Garantisce inoltre che il processo di raffreddamento lasci sempre il peso in uno stato che può essere utilizzato nella corsa successiva o nel processo. Quindi
dove l’operatore hermitiano Π agisce come 
per tutti 
. Oltre a questo, permettiamo che lo stato iniziale del peso pW sia arbitrario. In particolare, può essere coerente, il che offre un vantaggio27.
(v) Assumiamo che il bagno abbia volume V e sia nello stato termico
a data temperatura inversa
, con ZB la funzione di partizione del bagno. Denotiamo la densità di energia libera del bagno (nello stato canonico pB) con 
.
(vi) La capacità termica micro-canonica (2) non è negativa C(E) per tutte le energie E. Ciò implica che S(E) è sublineare in E. Dimostriamo anche nei Metodi supplementari che se S (E) cresce linearmente o più velocemente, allora è possibile un perfetto raffreddamento in tempo finito.
Con queste ipotesi, mostriamo che per raffreddare perfettamente il sistema a zero assoluto, almeno una di queste due risorse, il volume del bagno V, o il valore peggiore del lavoro consumato wmax deve essere infinito. Inoltre, abbiamo vincolato la temperatura più bassa raggiungibile del sistema 
in termini di V e wmax.
Quantificando l’irraggiungibilità dai primi principi
Con ipotesi (i)–(vi), consideriamo due casi, uno in cui lo stato iniziale e finale sono termici e uno in cui consentiamo stati iniziali e finali arbitrari. Il nostro primo risultato riguarda il primo e afferma che in qualsiasi processo in cui il lavoro peggiore iniettato è wmax,la temperatura finale del sistema non può essere inferiore a
nel limite wmax, V di grandi dimensioni. La densità di energia libera micro-canonica a temperatura inversa β0 è definita da
dove E0 è la soluzione dell’equazione S'(E0)=β0. Ricordiamo che, quando il volume del bagno V è grande, di solito è il caso che fmic(β0)=fcan (β0) e questi sono indipendenti da V.
Analizziamo il comportamento dell’equazione (7) in termini di risorse investite. Come wmax cresce, β0 diminuisce e fmic aumenta, ottenendo una temperatura finale più bassa 
. Poiché tutta la dipendenza del volume nell’equazione (7) è esplicita, quindi, una V più grande si traduce anche in una temperatura finale più bassa.
In quanto segue forniamo un limite per la famiglia di entropie fisicamente rilevanti
dove α > 0 e ν [[1/2, 1) sono due costanti. Tale entropia è estesa, e se impostiamo 
descrive la radiazione elettromagnetica (o qualsiasi campo bosonico senza massa) in una scatola D-dimensionale del volume V. Si ritiene generalmente che non ci sia nessun altro serbatoio che abbia una densità di stati che cresce più velocemente con E di questo36, e certamente nessuno che abbia ν≥1. Più tardi, corrisponde al bagno con capacità termica negativa discusso in precedenza, che consente il raffreddamento con wmax finito. Nella Discussione supplementare, adattiamo bound (7) all’entropia (9), ottenendo
fino ai termini iniziali. Ora, tutta la dipendenza da V e wmax è esplicita. In particolare, osserviamo che valori maggiori di V e wmax consentono temperature più basse. E anche, valori più grandi di ν, che equivalgono a una crescita di entropia più veloce, consentendo temperature più basse.
Come accennato in precedenza, i processi di raffreddamento che consideriamo sono molto generali. In particolare, possono alterare l’Hamiltoniana del sistema durante il processo, purché l’Hamiltoniana finale sia identica a quella iniziale HS. Ciò esclude il metodo di raffreddamento poco interessante che consiste nel ridimensionare l’Hamiltoniana HS→0. Tuttavia, i nostri limiti possono essere facilmente adattati per elaborare dove l’Hamiltoniana finale differisce da quella iniziale, come discuteremo nella conclusione.
Consideriamo ora il caso più generale, in cui né lo stato iniziale né quello finale devono essere termici, ma possono invece essere arbitrari. Come è già ben noto14, 15, 17, 18, 30, l’irraggiungibilità dello zero assoluto non è una conseguenza del fatto che lo stato target ha bassa energia, ma piuttosto che ha bassa entropia. Quindi, questo si traduce direttamente nell’irraggiungibilità di qualsiasi stato puro, o più in generale, qualsiasi stato con rango g inferiore allo stato iniziale. Questi tipi di processi sono generalmente noti come cancellazione delle informazioni o purificazione. Ora analizziamo i limiti di qualsiasi processo che prende uno stato iniziale arbitrario pS e lo trasforma in uno stato finale
con il supporto sul proiettore G-rank P. Quantifichiamo l’inesattezza della trasformazione con l’errore
. Per chiarezza, assumiamo che il sistema abbia hamiltoniano banale HS=0 (il caso generale è trattato nella discussione supplementare), e denotiamo con λmin e λmax gli autovalori più piccoli e più grandi di pS. Nei Metodi Supplementari, ci mostra che qualsiasi processo di pS→
errore
I risultati presentati in precedenza, così come altri di più generalità presentato nel supplemento di Discussione, di quantificare la nostra capacità di raffreddare un sistema (o, più in generale, metterlo in un ridotto rango di stato), in termini di due risorse: il volume della vasca, V, e nel peggiore dei casi di fluttuazione di lavoro consumato wmax. Costituiscono quindi una forma di terza legge, nel senso che pongono un limite al raffreddamento, date alcune risorse finite. Ora vogliamo tradurre questo nel tempo necessario per raffreddare il sistema, e lo faremo, prendendo in considerazione la nozione di una macchina termica e facendo due ipotesi fisicamente ragionevoli.
Macchine termiche
Ricordiamo che il campo della complessità computazionale si basa sulla tesi di Church-Turing—l’idea che consideriamo un computer una macchina di Turing, e quindi esploriamo come il tempo di calcolo si bilancia con la dimensione del problema. Macchine diverse possono eseguire in modo diverso—la testa del computer può muoversi più velocemente o più lentamente attraverso il nastro di memoria; le informazioni possono essere memorizzate in bit o in unità di memoria dimensionali superiori e la testa può scrivere su questa memoria a velocità diverse. La natura non sembra imporre un limite fondamentale alla dimensione di un’unità di memoria di un computer o alla velocità con cui può essere scritta. Tuttavia, per qualsiasi realizzazione fisicamente ragionevole di un computer, e qualunque sia la velocità di queste operazioni, è fisso e finito, e solo allora esaminiamo il ridimensionamento del tempo con la dimensione del problema. E ciò che è importante è il ridimensionamento generale del tempo con input (polinomiale o esponenziale), piuttosto che qualsiasi costante. Allo stesso modo qui, considereremo una macchina termica fissa, e assumeremo che possa trasferire solo una quantità finita di energia nel bagno di calore in tempo finito. Allo stesso modo, in un tempo finito, non può esplorare un bagno di calore di dimensioni infinite. Una macchina termica che altrimenti sarebbe fisicamente irragionevole.
Possiamo considerare sia V che wmax come funzioni monotoniche del tempo t. Più a lungo funziona la nostra macchina termica, più lavoro può pompare nel bagno di calore e maggiore è il volume del bagno che può esplorare. Per qualsiasi particolare macchina termica, si può mettere un limite finito su 
sostituendo queste funzioni nell’equazione (10). In particolare, se si assume che l’interazione è mediata dalle dinamiche di un locale Hamiltoniana, l’interazione di un sistema con un bagno di volume V e la dimensione spaziale d vorrà del tempo
dove v è proporzionale alla velocità del suono nella vasca da bagno (o Lieb–Robinson velocity37), e V1/D la dimensione lineare del bagno. L’implementazione degli unitari generali richiede molto più tempo dell’equazione (12), ma questo serve come limite inferiore. Poiché siamo interessati qui al ridimensionamento della temperatura con il tempo, piuttosto che con fattori costanti, non dobbiamo preoccuparci del fatto che le macchine termiche pratiche funzionano a velocità molto più lente. Naturalmente, proprio come con i computer reali, macchine termiche hanno generalmente velocità ben al di sotto del Lieb–Robinson bound. Si noti che, nonostante V sia finita, lo spazio di Hilbert del bagno può essere infinito-dimensionale. Se si voleva avere un legame che era indipendente dalla macchina termica, e indipendente dalla velocità del suono che è una proprietà del bagno, allora si potrebbe sempre prendere v per essere la velocità della luce. Mentre un tale limite non sarebbe praticamente rilevante, sarebbe fondamentale. Questo è simile ai limiti sul calcolo, dove per ottenere un limite fondamentale, si dovrebbe prendere la velocità del gate per essere infinita (poiché non esiste un limite fondamentale su questo) e convertire il numero di bit utilizzati nel processo in tempo moltiplicando per la velocità della luce.
Una relazione tra worst-case work wmax e time t si ottiene notando quanto segue. In t finito non è possibile iniettare nel bagno una quantità infinita di lavoro. Per semplicità, qui assumiamo una relazione lineare
dove la costante u dipenderà dalle interazioni tra sistema e peso. Tuttavia, sottolineiamo che, se una particolare configurazione fisica è modellata in modo errato dalle relazioni (12) e (13), anche qualsiasi altro legame t≥h1(wmax) e t≥h2(V) è buono. Finché h1 e h2 sono funzioni strettamente monotoniche, il principio di irraggiungibilità reggerà.
Limitazioni di utilizzo di macchine termiche
Per qualsiasi macchina termica, possiamo ora ricavare le limitazioni di temperatura, che può essere raggiunto in un dato tempo t. Dal momento che il sistema fisico con la più veloce crescita di entropia, che siamo consapevoli di radiazioni, vale la pena di dedicare il prossimo paragrafo per caso 
nell’equazione (9), perché questo dovrebbe fornire un associato con ampia validità. Usando le relazioni particolari (12) e (13), e sostituendole nell’equazione (10), per il caso della radiazione, otteniamo
nel limite t grande. Il nostro legame(14) può essere facilmente adattato a qualsiasi altra relazione t≥h1(wmax) e t≥h2 (V). È interessante osservare nell’equazione (14) la relazione tra il tempo caratteristico (quanto tempo ci vuole per raffreddarsi a un fisso 
) e la dimensione del sistema VS. Sfruttando la solita relazione ln d VS VS si ottiene il ridimensionamento sublineare
Qualcosa che riguarda il risultato (11) è che, nel limite λmin→0 il limite diventa banale
. Questo può essere risolto troncando lo stato iniziale pS al sottospazio contenente gli autovalori k più grandi e ottimizzando il limite risultante per 
in funzione di k. Inoltre, questo metodo di troncamento consente di estendere tutti i nostri risultati a sistemi a dimensione infinita (d=∞).