Se un piano è inclinato su una superficie orizzontale e filata rapidamente, il suo asse di rotazione inizia a precessionare attorno alla verticale. Dopo un breve intervallo, la parte superiore si deposita in un movimento in cui ogni punto sul suo asse di rotazione segue un percorso circolare. La forza di gravità verticale produce una coppia τ orizzontale attorno al punto di contatto con la superficie; la parte superiore ruota nel senso di questa coppia con una velocità angolare Ω tale che, in qualsiasi momento

τ = Ω × L , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,}

dove L è l’istantanea del momento angolare del top.

Inizialmente, tuttavia, non c’è precessione e la parte superiore cade direttamente verso il basso. Ciò dà luogo a uno squilibrio nelle coppie che inizia la precessione. In caduta, la parte superiore supera il livello al quale sarebbe precessione costantemente e poi oscilla su questo livello. Questa oscillazione è chiamata nutazione. Se il movimento è smorzato, le oscillazioni moriranno fino a quando il movimento è una precessione costante.

La fisica della nutazione in cime e giroscopi può essere esplorata utilizzando il modello di una cima simmetrica pesante con la sua punta fissa. (Un piano simmetrico è uno con simmetria rotazionale, o più in generale uno in cui due dei tre momenti principali di inerzia sono uguali.) Inizialmente, l’effetto dell’attrito viene ignorato. Il moto della cima può essere descritto da tre angoli di Eulero: l’angolo di inclinazione θ tra l’asse di simmetria della cima e la verticale; l’azimut φ della cima intorno alla verticale; e l’angolo di rotazione ψ della cima attorno al proprio asse. Quindi, la precessione è il cambiamento in φ e la nutazione è il cambiamento in θ.

Se la parte superiore ha massa M e il suo centro di massa è ad una distanza l dal punto di rotazione, il suo potenziale gravitazionale rispetto al piano del supporto è

V = M g l cos cos ( θ ) . Per maggiori informazioni: Per maggiori informazioni clicca qui.}

In un sistema di coordinate in cui l’asse z è l’asse di simmetria, la parte superiore ha velocità angolari ω1, ω2, ω3 e momenti di inerzia I1, I2, I3 sugli assi x, y e z. Dato che stiamo prendendo una cima simmetrica, abbiamo I1=I2. L’energia cinetica è

E r = 1 2 I 1 (ω 1 2 + ω 2 2 ) + 1 2 I 3 ω 3 2 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione._{1}^{2}+\ omega _ {2} ^ {2}\destra)+{\frac {1} {2}} I_{3}\omega _{3}^{2}. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione._{1}^{2}+\ omega _ {2} ^ {2}\destra)+{\frac {1} {2}} I_{3}\omega _{3}^{2}.}

In termini di angoli di Eulero, questo è

E r = 1 2 I 1 ( θ 2 + sin 2 sin 2 sin ( θ ) ) + 1 2 I 3 ( θ + cos cos cos ( θ ) ) 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.}

Se le equazioni di Eulero–Lagrange sono risolte per questo sistema, si scopre che il moto dipende da due costanti a e b (ciascuna correlata a una costante di movimento). Il tasso di precessione è correlato all’inclinazione di

ϕ = b − a cos cos ( θ ) sin 2 sin ( θ ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

L’inclinazione è determinato da una equazione differenziale per u = cos(θ) del modulo

u 2 = f ( u ) {\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}

dove f è un polinomio cubico che dipende dai parametri a e b così come costanti, che sono legati per l’energia e la forza gravitazionale di coppia. Le radici di f sono coseni degli angoli in cui la velocità di variazione di θ è zero. Uno di questi non è correlato a un angolo fisico; gli altri due determinano i limiti superiore e inferiore dell’angolo di inclinazione, tra i quali oscilla il giroscopio.