In matematica, un anello è una struttura algebrica con due operazioni binarie, comunemente chiamate addizione e moltiplicazione. Queste operazioni sono definite in modo da emulare e generalizzare gli interi. Altri esempi comuni di anelli includono l’anello di polinomi di una variabile con coefficienti reali, o un anello di matrici quadrate di una data dimensione.

Per qualificarsi come anello, l’addizione deve essere commutativa e ogni elemento deve avere un inverso sotto addizione: ad esempio, l’inverso additivo di 3 è -3. Tuttavia, la moltiplicazione in generale non soddisfa queste proprietà. Un anello in cui la moltiplicazione è commutativa e ogni elemento tranne l’elemento di identità additivo (0) ha un inverso moltiplicativo (reciproco) è chiamato un campo: ad esempio, l’insieme di numeri razionali. (L’unico anello in cui 0 ha un inverso è l’anello banale di un solo elemento.)

Un anello può avere un numero finito o infinito di elementi. Un esempio di un anello con un numero finito di elementi è , l’insieme di resti quando un intero è diviso per 5, cioè l’insieme {0,1,2,3,4} con operazioni come 4 + 4 = 3 perché 8 ha resto 3 quando diviso per 5. Un anello simile può essere formato per altri valori positivi di.

definizione Formale

Un anello è un insieme R, dotato di due operazioni binarie, che sono generalmente indicati con + e · e chiamato l’addizione e la moltiplicazione, rispettivamente, tali che:

• (R, +) è un gruppo abeliano
• la Moltiplicazione è associativa
• di destra e di sinistra distributiva leggi tenere:
  • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

In pratica, il simbolo · è di solito omesso, e la moltiplicazione è solo indicato dalla giustapposizione. Viene anche assunto il solito ordine delle operazioni, in modo che a + bc sia l’abbreviazione di a + (b·c). La proprietà distributiva viene specificata separatamente per la moltiplicazione sinistra e destra per coprire i casi in cui la moltiplicazione non è commutativa, ad esempio un anello di matrici.

Tipi di anelli

Anello Unital

Un anello in cui esiste un elemento di identità per la moltiplicazione è chiamato anello unital, anello unitario o semplicemente anello con identità. L’elemento identità è generalmente indicato 1. Alcuni autori, in particolare Bourbaki, chiedono che i loro anelli dovrebbero avere un elemento di identità, e chiamare anelli senza pseudorings identità.

Anello commutativo

Un anello in cui l’operazione di moltiplicazione è commutativa è chiamato anello commutativo. Tali anelli commutativi sono l’oggetto di studio di base in algebra commutativa, in cui gli anelli sono generalmente anche assunto per avere un’unità.

Anello di divisione

Per ulteriori informazioni, vedere: Anello di divisione.

Un anello unital in cui ogni elemento diverso da zero a ha un inverso, cioè un elemento a-1 tale che a−1a = aa−1 = 1, è chiamato anello di divisione o campo di inclinazione.

Omomorfismi degli anelli

Un omomorfismo ad anello è una mappatura da un anello ad un anello rispettando le operazioni ad anello. Cioè,

Se gli anelli sono unital, si presume spesso che associa l’elemento di identità di all’elemento di identità di all’elemento di identità di .

Un omomorfismo può mappare un insieme più grande su un insieme più piccolo; ad esempio, l’anellopotrebbe essere l’interoe potrebbe essere mappato sull’anello banale che contiene solo il singolo elemento.

Subrings

Se è un anello, un sottoinsieme di è chiamato un subring se è un anello sotto il ring operazioni ereditate da . Si può vedere che questo equivale a richiedere che sia chiuso sotto moltiplicazione e sottrazione.

Se è unital, alcuni autori richiedono che un subring dicontenga l’unità di.

Ideali

due lati di Un ideale di un anello è un subring tale che, per ogni elemento nel e qualsiasi elemento nel abbiamo e sono elementi di . Il concetto di ideale di un anello corrisponde al concetto di sottogruppi normali di un gruppo. Pertanto, possiamo introdurre una relazione di equivalenza su dichiarando che due elementi di sono equivalenti se la loro differenza è un elemento di. L’insieme delle classi di equivalenza è quindi indicato con ed è un anello con le operazioni indotte.

Se è un omomorfismo ad anello, allora il kernel di h, definito come l’immagine inversa di 0, , è un ideale di . Al contrario, se è un ideale di , quindi c’è una naturale anello di omomorfismo, il quoziente di omomorfismo, da tali che è l’insieme di tutti gli elementi mappati a 0 nel .

Esempi

• L’anello banale {0} è costituito da un solo elemento, che funge sia da identità additiva che moltiplicativa.
• Gli interi formano un anello con addizione e moltiplicazione definite come al solito. Questo è un anello commutativo.
  • I numeri razionali, reali e complessi formano anelli commutativi.
• L’insieme dei polinomi forma un anello commutativo.
• L’insieme di matrici quadrate forma un anello sotto addizione componentwise e moltiplicazione della matrice. Questo anello non è commutativo se n > 1.
• L’insieme di tutte le funzioni continue a valore reale definite sull’intervallo forma un anello sotto addizione e moltiplicazione puntuali.

Costruire nuovi anelli da quelli dati

• Per ogni anello possiamo definire l’anello opposto invertendo la moltiplicazione in. Data la moltiplicazione in, la moltiplicazione in è definita come. La “mappa identità”da a , mappando ogni elemento a se stesso, è un isomorfismo se e solo se è commutativa. Tuttavia, anche se non è commutativo, è ancora possibile che e siano isomorfi usando una mappa diversa. Ad esempio, se è l’anello di matrici di numeri reali, allora la mappa di trasposizione da a , mappando ogni matrice alla sua trasposizione, è un isomorfismo.
• Il centro di un anello è l’insieme di elementi di che commutano con ogni elemento di ; che, è un elemento di centro se per ogni . Il centro è un subring di . Diciamo che un subring diè centrale se è un subring del centro di.
• Il prodotto diretto di due anelli R e S è il prodotto cartesiano R×S insieme alle operazioni

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) e (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Con queste operazioni R×S è un anello.

• Più in generale, per qualsiasi set di indici J e raccolta di anelli , esistono il prodotto diretto e la somma diretta.
  • Il prodotto diretto è la raccolta di “infinite-tuple” con addizione e moltiplicazione dei componenti come operazioni.
  • La diretta somma di una collezione di anelli è il subring del prodotto diretto consiste di tutte le infinite-tuple con la proprietà che rj=0 per tutti, ma un insieme numerabile molti. j. In particolare, se J è finito, allora diretto, somma e il prodotto diretto sono isomorfi, ma in generale sono piuttosto diverse proprietà.
• Dal momento che ogni anello è sia a sinistra e a destra del modulo su se stesso, è possibile costruire il tensore di prodotto di R su un ring con un altro anello T per ottenere un altro anello, fornite S è un centro di subring di R e T.

Storia

Lo studio di anelli origine dallo studio del polinomio anelli e algebrica numero di campi nella seconda metà del xix secolo, tra gli altri, da Richard Dedekind. Il termine anello stesso, tuttavia, è stato coniato da David Hilbert nel 1897.

Vedi anche

• Glossario della teoria degli anelli
• Algebra su un anello commutativo
• Anello non associativo

• Tipi speciali di anelli:
  • Commutativa anello
  • anello di Divisione
  • Campo
  • Integrale di dominio (ID)
  • le Principali ideale dominio (PID)
  • Unica fattorizzazione di dominio (UFD)

• Costruzioni di anelli
  • anello di Gruppo
  • Matrix anello
  • Polinomio anello

• Anelli con aggiunta di struttura
  • Differenziale anello
  • Euclidea dominio (ED)