Marzo 2005

In questo numero:

• Introduzione alla X-R Grafici
• Esempio
• Quando Uso X-R Grafici
• per la Costruzione di un X-R Grafico
• Sommario
• Link Rapidi

Questo mese è il primo di una multi-parte la pubblicazione su X-R grafici. Questo mese presentiamo il grafico e forniamo i passaggi per costruire un grafico X-R. Il mese prossimo, vedremo un esempio dettagliato di un grafico X-R. Il grafico X-R è un tipo di grafico di controllo che può essere utilizzato con i dati delle variabili. Come la maggior parte delle altre variabili di controllo grafici, è in realtà due grafici. Un grafico è per medie sottogruppi (X). L’altro grafico è per gli intervalli di sottogruppi (R). Questi grafici sono uno strumento molto potente per monitorare la variazione in un processo e rilevare i cambiamenti nella media o nella quantità di variazione nel processo.

Introduzione ai grafici X-R

Supponiamo di essere un membro di una squadra di bowling. Si gioca tre partite a notte una volta alla settimana in un campionato di bowling. Siete interessati a determinare se si sta migliorando il vostro gioco di bowling. Quali sono alcuni approcci diversi che potresti usare? Un’idea è che si potrebbe tracciare il punteggio da ogni gioco. Tuttavia, sei più interessato a quale sia il tuo punteggio medio in una data notte. Quindi un’altra idea è quella di tracciare la media dei tre giochi ogni notte. Sicuramente vorresti aumentare quella media nel tempo. Sei anche interessato ad essere più coerente, cioè non avere un grande gioco seguito da uno povero. Così, un’altra idea è quella di tenere traccia della gamma di punteggi per le tre partite ogni notte. In situazioni come questa (quando si desidera monitorare le medie nel tempo ma tenere comunque traccia della variazione tra i singoli risultati), il grafico X-R è molto utile.

Il grafico X-R è un metodo per esaminare due diverse fonti di variazione. Una fonte è la variazione delle medie dei sottogruppi. L’altra fonte è la variazione all’interno di un sottogruppo. Considera l’esempio di bowling sopra. Si dispone di dati disponibili su una base abbastanza frequente (tre partite ogni settimana). È inoltre possibile suddividere razionalmente i dati. I tre singoli giochi si ciotola in una notte possono essere utilizzati per formare un sottogruppo.

Continuando con l’esempio di bowling, supponiamo che una notte i tuoi tre punteggi di bowling siano 169, 155 e 189. Questi tre punteggi formano un sottogruppo. È possibile calcolare l’intervallo di questo sottogruppo sottraendo il punteggio minimo dal punteggio massimo. Quindi l’intervallo è:

Range = Maximum – Minimum = 189-155 = 34

È possibile tracciare questo valore su un grafico range (R). Questo viene fatto per ogni sottogruppo (una notte di bowling tre partite). Il grafico intervallo mostra quanta variazione c’è all’interno di ogni sottogruppo, cioè, la quantità di variazione nei Suoi punteggi di bowling su una notte. Vorresti che questa variazione fosse piccola e coerente nel tempo.

Il grafico per medie ( X) presenta una variazione diversa rispetto al grafico intervallo. Utilizzando i tre punteggi di cui sopra, è possibile calcolare un punteggio medio per la notte prendendo la media dei tre punteggi individuali. La media del sottogruppo è:

X = (169+155+189)/3 = 171

È possibile tracciare questo valore sul grafico X. Questo viene fatto per ogni sottogruppo. Il grafico X mostra quanta variazione settimana per settimana c’è nel tuo punteggio medio settimanale bowling. Vorresti che questa variazione fosse piccola e coerente nel tempo. Questo ti permette di prevedere quale sarà il tuo punteggio medio in ogni notte, entro certi limiti.

La figura seguente è un esempio del grafico X-R per questo esempio di bowling. La parte superiore della figura è il grafico X. Ogni settimanale punteggio medio bowling (cioè, la media dei tre singoli giochi) è tracciata. La media complessiva (Xdbar = X double bar ) è stata calcolata e tracciata come una linea continua. Xdbar è la media di tutte le medie dei sottogruppi. Anche i limiti di controllo superiore e inferiore sono stati calcolati e tracciati. Il grafico X è in controllo statistico. La parte inferiore della figura è il grafico range (R). L’intervallo è tracciato per ogni settimana. L’intervallo medio e i limiti di controllo sono stati calcolati e tracciati. La gamma è anche in controllo statistico.

Cosa significa quando il grafico X-R è in controllo statistico? Significa che la media del sottogruppo è coerente nel tempo e la variazione all’interno di un sottogruppo è coerente nel tempo. Possiamo prevedere cosa farà il processo nel prossimo futuro. Nell’esempio bowling, questo significa che è possibile prevedere quale sarà la media dei tuoi tre giochi in una data notte. La tua media sarà tra circa 158 e 208 con una media a lungo termine di circa 183. È inoltre possibile prevedere ciò che la vostra gamma in punteggi bowling sarà in una data notte. La gamma può essere ovunque da 0 a circa 62 con una gamma media di circa 24. Finché il processo rimane in controllo (il bowling), i risultati continueranno allo stesso.

Esempio

Quando usare i grafici X-R

I grafici X-R dovrebbero essere usati quando si hanno preso frequentemente i dati. La frequenza con cui si tracciano i punti sui grafici dipende dalla dimensione del sottogruppo. Ad esempio, se la dimensione del sottogruppo è quattro, saranno necessari quattro campioni prima di calcolare la media e l’intervallo e tracciare i punti. Se si prende solo un campione al giorno, ci vorranno quattro giorni prima di poter tracciare i punti. Se il punto è fuori controllo, il motivo potrebbe essersi verificato quattro giorni fa. Questo spesso rende difficile scoprire cosa è successo.

I grafici X-R dovrebbero essere usati se è possibile suddividere razionalmente i dati e sono interessati a rilevare le differenze tra sottogruppi nel tempo. Ciò significa che ci dovrebbe essere una base logica per il modo in cui i sottogruppi sono formati. Dovrebbero essere formati per esaminare la variazione di interesse per te. Potresti essere interessato alla variazione di giorno in giorno. In questo caso, i campioni di un giorno verrebbero utilizzati per formare un sottogruppo. Il grafico X esaminerebbe la variazione di giorno in giorno, mentre il grafico R esaminerebbe la variazione entro un giorno.

Il grafico R è una misura della variazione a breve termine nel processo. I sottogruppi dovrebbero essere formati per ridurre al minimo la quantità di variazione all’interno di un sottogruppo. Ciò fa sì che il grafico X esegua il lavoro nel rilevare le modifiche del processo.

Passi nella costruzione di un grafico X-R

I passi nella costruzione di un grafico X-R sono riportati di seguito.

1. Raccogliere i dati.

a. Selezionare la dimensione del sottogruppo (n). Le dimensioni tipiche dei sottogruppi sono da 4 a 5. Il concetto di sottogruppo razionale dovrebbe essere considerato. L’obiettivo è quello di ridurre al minimo la quantità di variazione all’interno di un sottogruppo. Questo ci aiuta a “vedere” più facilmente la variazione nel grafico delle medie.
b. Selezionare la frequenza con cui i dati saranno raccolti. I dati devono essere raccolti nell’ordine in cui vengono generati (nella maggior parte dei casi).
c. Selezionare il numero di sottogruppi (k) da raccogliere prima di calcolare i limiti di controllo. È possibile iniziare con i limiti di controllo iniziali dopo dieci sottogruppi, ma ricalcolare i limiti ogni volta fino ad arrivare a venti sottogruppi.
d. Per ogni sottogruppo, registrare i singoli risultati del campione indipendenti.
e. Per ogni sottogruppo, calcolare la media del sottogruppo:

dove n è la dimensione del sottogruppo.
f. Per ogni sottogruppo, calcolare l’intervallo di sottogruppi:

R = Xmax – Xmin

dove Xmax è il risultato massimo del campione individuale nel sottogruppo e Xmin è il risultato minimo del campione individuale nel sottogruppo.

2. Tracciare i dati.

a. Selezionare le scale per gli assi x e y per entrambi i grafici X e R.
b. Tracciare gli intervalli di sottogruppi sul grafico R e collegare i punti consecutivi con una linea retta.
c. Tracciare le medie dei sottogruppi sul grafico X e collegare i punti consecutivi con una linea retta.

3. Calcola le medie complessive del processo e i limiti di controllo.

a. Calcola l’intervallo medio (Rbar):

dove k è il numero di sottogruppi.
b. Tracciare Rbar sul grafico intervallo come linea continua ed etichetta.
c. Calcolare la media complessiva del processo (Xdbar):

d. Tracciare X sul grafico X come linea continua ed etichetta.
e. Calcolare i limiti di controllo per il grafico R. Il limite superiore di controllo è dato da UCLr. Il limite di controllo inferiore è dato da LCLr.

dove D4, D3, sono costanti del grafico di controllo che dipendono dalla dimensione del sottogruppo (vedere la tabella seguente).
f. Tracciare i limiti di controllo sul grafico R come linee tratteggiate ed etichetta.
g. Calcolare i limiti di controllo per il grafico X. Il limite superiore di controllo è dato da UCLx. Il limite di controllo inferiore è dato da LCLx.

dove A2 è una costante del grafico di controllo che dipende dalla dimensione del sottogruppo (vedere la tabella seguente). h. Tracciare i limiti di controllo sul grafico X come linee tratteggiate ed etichetta.

4. Interpretare entrambi i grafici per il controllo statistico.

a. Considera sempre prima la variazione. Se il grafico R è fuori controllo, i limiti di controllo sul grafico X non sono validi poiché non si dispone di una buona stima di . Tutti i test per il controllo statistico si applicano al grafico X. I punti oltre i limiti, il numero di esecuzioni e la lunghezza delle prove di esecuzione si applicano al grafico R.

5. Calcolare la deviazione standard del processo, se del caso.

a. Se il grafico R è in controllo statistico, la deviazione standard del processo, s, può essere calcolata come:

dove d2 è una costante del grafico di controllo che dipende dalla dimensione del sottogruppo (vedere la tabella seguente).

Per calcolare i limiti di controllo e stimare la deviazione standard del processo, è necessario utilizzare le costanti del grafico di controllo D4, D3, A2 e d2. Queste costanti del grafico di controllo dipendono dalla dimensione del sottogruppo (n). Queste costanti del grafico di controllo sono riassunte nella tabella seguente. Ad esempio, se il sottogruppo è 4, D4 = 2.282, A2 = 0.729 e d2 = 2.059. Non c’è valore per D3. Ciò significa semplicemente che il grafico R non ha limiti di controllo inferiori quando la dimensione del sottogruppo è 4.

Summary

This publication has introduced the X-R chart. Quando si dovrebbe usare un grafico X-R è stato coperto così come i passaggi nella costruzione del grafico.