Geometrisk serierediger

enhver summeringsmetode som innehar egenskapene regelmessighet, linearitet og stabilitet vil summere en geometrisk serie

∑ k = 0 hryvnias a r k = a 1-r . {\displaystyle \ sum _ {k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

i dette tilfellet a = 1 og r = -2, så summen er 1/3.

euler summationEdit

I Hans 1755 Institutiones, Leonhard Euler effektivt tok det som nå kalles euler transform av 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, kommer til den konvergente serien 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Siden sistnevnte summerer til 1/3, konkluderte Euler at 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Hans ideer om uendelige serier følger ikke helt den moderne tilnærmingen; i dag sier man det 1 − 2 + 4 − 8 + … er Euler summable og at dens euler sum er 1/3.

Utdrag fra Institutiones a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8 ,…

Sekvensen av foroverforskjeller er da

Δ0 = a1-a0 = 2-1 = 1, Hryva1 = a2-a1 = 4 – 2 = 2, Δ2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δ3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

som er akkurat den samme sekvensen. Derfor starter de itererte forward difference-sekvensene med Δ 0 = 1 for hver n. Euler-transformasjonen er serien

a 0 2 − Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8 − Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdot = {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .

dette er en konvergent geometrisk serie hvis sum er 1/3 ved vanlig formel.

borel summationEdit

borelsummen av 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ er også 1/3; da É Borel introduserte grenseformuleringen Av borelsumasjon i 1896, var dette et av hans første eksempler etter 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adiske tallrediger

sekvensen av delvise summer knyttet til 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2 + 4-8 \ ldots }

i den 2-adiske metriske er 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1, -1,3, -5,11,\ldots }