fysieke instelling
ons doel is om ultieme kwantitatieve grenzen te bieden die van toepassing zijn op elke koelprocedure—namelijk, we willen een ondergrens vinden voor de temperatuur die een systeem kan bereiken na elk proces dat een bepaalde hulpbronnen gebruikt of een bepaalde tijd t duurt. Daarom moeten we de meest algemene kwantumtransformatie toestaan, dat wil zeggen die welke de totale energiebesparing respecteren en microscopisch omkeerbaar zijn (unitair). Deze algemene opstelling omvat thermodynamisch onomkeerbare protocollen en ook onrealistische protocollen waarbij totale controle van de microscopische vrijheidsgraden van het bad vereist is. Verrassend genoeg zullen we hier, zoals in het geval van de tweede wet25,27,29,30 werd vastgesteld, zien dat het hebben van een dergelijke onrealistische mate van controle niet lijkt te geven een voordeel ten opzichte van het hebben van zeer ruwe controle.
We zullen aantonen dat de dichtheid van het reservoir dat het koelproces ondersteunt een belangrijke invloed heeft op hoe snel een systeem kan worden gekoeld. (De dichtheid van toestanden Ω (E) is het aantal toestanden met energie E.) we zien dat hoe sneller Ω(E) groeit, hoe lager de temperatuur die kan worden bereikt met vaste bronnen of in een vaste tijd. Sterker nog: als Ω(E) exponentieel of sneller groeit, dan is afkoeling tot absoluut nul in eindige tijd in principe mogelijk, waardoor een schending van de derde wet mogelijk is. We zullen echter zien dat exponentieel of super-exponentieel Ω(E) als onfysisch moet worden beschouwd. Dit wordt intuïtiever wanneer uitgedrukt in termen van de (micro-canonieke) warmtecapaciteit C (E), gerelateerd aan S(E)=ln Ω(E) via
waar priemgetallen differentiëlen vertegenwoordigen. Als Ω(E) exponentieel of sneller groeit, dan is C(E) oneindig of negatief, wat als onfysisch wordt beschouwd. Als Ω (E) sub-exponentieel is, dan is C(E) positief. En, hoe sneller Ω(E) groeit, hoe groter C(E) is. Alleen een reservoir met oneindig-dimensionale Hilbertruimte kan S (E) laten groeien voor alle E. En inderdaad, oneindig-dimensionale reservoirs zijn degenen die een snellere afkoeling mogelijk maken. Echter, onze resultaten zijn algemeen en ook van toepassing op de eindig-dimensionale geval.
stel dat we een kwantumsysteem willen koelen met Hilbertruimtedimensie d, en Hamiltoniaan HS met grondstatusdegeneratie g, gap boven de grondtoestand Δ en grootste energie J. Wat zijn de benodigde hulpbronnen om dit te doen?
fundamentele aannames
laten we de setup concreter specificeren en de aannames verzamelen die we zullen aannemen (die afkomstig zijn van de eerste principes):
(i) We beschouwen de start van het proces als wanneer het systeem nog niet in contact is gebracht met het werkopslagsysteem (het gewicht) noch met het reservoir, zodat de Globale toestand aanvankelijk pS p pB⊗pW is. Hoewel een ander scenario voor de eerste start van belang kan zijn, valt de overweging ervan buiten het bestek van dit document.
(ii) We maken de meest algemene kwantumtransformatie op Systeem, bad en gewicht mogelijk, die omkeerbaar is (unitair) en de totale energie behoudt. Dit kan restrictief lijken in vergelijking met de paradigma ‘ s die willekeurige interactietermen toestaan, maar dit is niet het geval, omdat willekeurige interacties kunnen worden opgenomen in het model zoals weergegeven in Bijlage H van ref. 27 en ref. 25, simpelweg door de energie van het werksysteem te laten fluctueren. In veel paradigma ‘ s wordt dit impliciet afgedwongen door aan te nemen dat alle ontbrekende energie als werk wordt beschouwd. Paradigma ‘ s die deze toestand ontspannen negeren in wezen de energie die naar andere systemen wordt overgebracht, of behandelen deze andere systemen als klassiek. In wezen leggen we energiebesparing op om ervoor te zorgen dat we naar behoren rekening houden met alle energiekosten die verband houden met de interactie, terwijl de verschillende unitarissen of interactietermen gewoon energie uit het gewicht overdragen of nemen om te compenseren. Het koelproces is dus elke transformatie van de vorm
waarbij U een mondiale eenheid is die voldoet aan
(iii) het werk dat wordt verbruikt tijdens de transformatie wordt genomen uit het gewicht. Omdat we geïnteresseerd zijn in ultieme beperkingen, beschouwen we een geïdealiseerd gewicht met Hamiltoniaan met continu en onbegrensd spectrum 
. Elk ander werksysteem kan met deze one30 worden gesimuleerd. We geven aan met wmax de slechtste waarde van het verbruikte werk, dat wil zeggen,
wmax zal over het algemeen veel groter zijn dan het gemiddelde werk 〈W〉. In elk fysiek redelijk proces dat in eindige tijd wordt uitgevoerd, verwacht men dat het eindig is.
(iv) hebben we ook nodig, zoals in ref. 29, dat de koeling transformatie pendelt met de vertalingen op het gewicht. Met andere woorden, de werking van de thermische machine is onafhankelijk van de oorsprong van de energieën van het gewicht, zodat het gewoon afhangt van hoeveel werk wordt geleverd van het gewicht. Dit kan worden begrepen als het definiëren van wat werk is—het is slechts de verandering in energie die we kunnen veroorzaken op een extern systeem. Dit zorgt er ook voor dat het gewicht slechts een mechanisme is voor het leveren of opslaan van werk, en bijvoorbeeld geen entropiedump is (zie resultaat 1 in de aanvullende discussie). Het zorgt er ook voor dat het koelproces het gewicht altijd in een staat laat die kan worden gebruikt in de volgende run of het proces. Dus
waarbij de Hermitiaanse operator Π optreedt als 
voor alle
. Verder staan we toe dat de begintoestand van het gewicht PW willekeurig is. Het kan met name coherent zijn, wat een voordeel biedt27.
(v) we gaan ervan uit dat het bad volume V heeft en in de thermische toestand is 
bij een gegeven inverse temperatuur 
, met ZB de partitiefunctie van het bad. We geven de vrije energiedichtheid van het bad (in de canonieke toestand pB) aan met 
.
(vi) de micro-canonieke warmtecapaciteit (2) is niet negatief C (E) voor alle energieën E. Dit houdt in dat S (E) sublineair is in E. We bewijzen ook in de aanvullende methoden dat als S(E) lineair of sneller groeit, perfecte koeling in eindige tijd mogelijk is.
Met deze veronderstellingen laten we zien dat om het systeem perfect af te koelen tot absoluut NUL, ten minste een van deze twee bronnen, het volume van het bad V, of de slechtste waarde van het verbruikte werk wmax oneindig moet zijn. Ook hebben we de laagst haalbare temperatuur van het systeem 
in termen van V en wmax gebonden.
het kwantificeren van onbereikbaarheid uit de eerste principes
met aannames (I)–(vi), beschouwen we twee gevallen, een waar de begin-en eindtoestand thermisch zijn, en een waar we willekeurige begin-en eindtoestanden toestaan. Ons eerste resultaat betreft het eerste, en stelt dat in elk proces waar het slechtst geïnjecteerde werk wmax is,de uiteindelijke temperatuur van het systeem niet lager mag zijn dan
in de grote Wmax, V-limiet. De micro-canonieke vrije-energiedichtheid bij inverse temperatuur β0 wordt gedefinieerd door
waarbij E0 de oplossing is van vergelijking S'(E0)=β0. Bedenk dat, wanneer het volume van het bad V groot is, het meestal het geval is dat fmic(β0) = fcan(β0) en deze zijn onafhankelijk van V.
laten we het gedrag van vergelijking (7) analyseren in termen van de geïnvesteerde middelen. Naarmate wmax groeit, neemt β0 af en neemt fmic toe, wat resulteert in een lagere eindtemperatuur 
. Aangezien alle volumeafhankelijkheid in vergelijking (7) expliciet is, vertaalt een grotere V zich dus ook in een lagere eindtemperatuur.
in wat volgt geven we een grens voor de fysisch relevante familie van entropieën
waarin α >0 en ν∈[1/2, 1) twee constanten zijn. Een dergelijke entropie is uitgebreid, en als we 
instellen, beschrijft het elektromagnetische straling (of elk massieloos bosonisch veld) in een D-dimensionale doos van volume V. Algemeen wordt aangenomen dat er geen ander reservoir is met een dichtheid van staten die sneller groeit met E dan dit36, en zeker geen reservoir met ν≥1. De latere, komt overeen met het bad met negatieve warmtecapaciteit eerder besproken, waardoor koeling met eindige wmax. In de aanvullende discussie passen we bound (7) aan de entropie (9) aan, waarbij we
verkrijgen tot aan leidende termen. Alle afhankelijkheid van V en wmax is expliciet. In het bijzonder merken we op dat grotere waarden van V en wmax lagere temperaturen mogelijk maken. En ook grotere waarden van ν, wat neerkomt op een snellere entropiegroei, waardoor lagere temperaturen mogelijk zijn.
zoals hierboven vermeld, zijn de koelprocessen die wij beschouwen zeer algemeen. In het bijzonder kunnen ze de Hamiltoniaan van het systeem veranderen tijdens het proces, zolang de uiteindelijke Hamiltoniaan identiek is aan de initiële HS. Dit sluit de oninteressante koelmethode uit die bestaat uit het herschalen van de Hamiltoniaan HS→0. Echter, onze grenzen kunnen gemakkelijk worden aangepast aan het proces waar de uiteindelijke Hamiltoniaan verschilt van de oorspronkelijke, zoals we zullen bespreken in de conclusie.
laten we nu het meer algemene geval bekijken, waar noch de begin-of eindtoestand thermisch hoeft te zijn, maar in plaats daarvan willekeurig kan zijn. Zoals het al goed bekend is14, 15, 17,18, 30, is de onbereikbaarheid van het absolute nulpunt niet een gevolg van het feit dat de doelstaat weinig energie heeft, maar eerder dat het een lage entropie heeft. Vandaar, dit vertaalt zich direct naar de onbereikbaarheid van elke zuivere staat, of meer in het algemeen, elke staat met rang g lager dan de aanvankelijke staat. Dit soort processen zijn over het algemeen bekend als informatie wissen, of zuivering. Nu analyseren we de beperkingen van processen die een willekeurige initiële status pS nemen en deze omzetten in een uiteindelijke status 
met ondersteuning op de G-rank projector P. we kwantificeren de onnauwkeurigheid van de transformatie door de fout 
. Voor de duidelijkheid gaan we ervan uit dat het systeem triviale Hamiltoniaanse HS=0 heeft (het algemene geval wordt behandeld in de aanvullende discussie), en we wijzen met λmin en λmax de kleinste en grootste eigenwaarden van pS aan. In de aanvullende methoden tonen we aan dat elk proces pS→
heeft fout
de resultaten die hierboven zijn gepresenteerd, evenals andere meer algemene die in de aanvullende discussie worden gepresenteerd, kwantificeren ons vermogen om een systeem te koelen (of meer in het algemeen, zet het in een gereduceerde rangtoestand), in termen van twee middelen: het volume van het bad V, en de worst-case fluctuatie van het werk verbruikt Wmax. Ze vormen dus een vorm van derde wet, in de zin dat ze een binding aan de koeling, gegeven enkele eindige hulpbronnen. We willen dit nu vertalen in de tijd die nodig is om het systeem af te koelen, en dat zullen we doen, door het idee van een thermische machine te overwegen en twee fysiek redelijke veronderstellingen te maken.
thermische machines
laten we eraan herinneren dat het gebied van computationele complexiteit is gebaseerd op de kerk-Turing thesis—het idee dat we een computer als een Turing machine beschouwen, en dan onderzoeken hoe de tijd van berekening schaalt met de grootte van het probleem. Verschillende machines kunnen anders presteren—de computerkop kan sneller of langzamer bewegen over de geheugenband; de informatie kan in beetjes of in hogere dimensionale geheugeneenheden worden opgeslagen, en het hoofd kan aan dit geheugen bij verschillende snelheden schrijven. De natuur lijkt geen fundamentele limiet te stellen aan de afmeting van een computergeheugen of aan de snelheid waarmee het kan worden geschreven. Echter, voor elke fysiek redelijke realisatie van een computer, en ongeacht de snelheid van deze operaties, is het vast en eindig, en alleen dan onderzoeken we de schaling van de tijd met probleemgrootte. En wat belangrijk is, is de totale schaling van de tijd met input (polynoom of exponentieel), in plaats van constanten. Ook hier zullen we een vaste thermische machine overwegen, en we zullen aannemen dat het slechts een eindige hoeveelheid energie in het warmtebad in eindige tijd kan overbrengen. Evenzo, in een eindige tijd, kan het niet verkennen van een oneindige grootte warmtebad. Een thermische machine die anders wel zou zijn, zou fysiek onredelijk zijn.
We kunnen zowel V als wmax beschouwen als monotone functies van tijd t. hoe langer onze thermische machine draait, hoe meer werk hij in het warmtebad kan pompen, en hoe groter het volume van het bad dat hij kan verkennen. Voor een bepaalde thermische machine kan men een eindige binding op 
plaatsen door deze functies te vervangen door vergelijking (10). In het bijzonder, als we aannemen dat de interactie wordt gemedieerd door de dynamiek van een lokale Hamiltoniaan, dan zal de interactie van een systeem met een bad van volume V en ruimtelijke dimensie d tijd
vergen waarbij v evenredig is met de geluidssnelheid in het bad (of lieb–Robinson velocity37), en V1/D de lineaire dimensie van het bad. De implementatie van algemene unitarissen duurt veel langer dan vergelijking (12), maar dit dient als een ondergrens. Aangezien wij hier geà nteresseerd zijn in het opschalen van de temperatuur met de tijd in plaats van met constante factoren, hoeven wij ons geen zorgen te maken over het feit dat praktische thermische machines met veel lagere snelheden werken. Natuurlijk, net als bij echte computers, thermische machines hebben over het algemeen snelheden ver onder de Lieb–Robinson gebonden. Merk op dat, ondanks dat V eindig is, de Hilbertruimte van het bad oneindig-dimensionaal kan zijn. Als men een band wilde hebben die onafhankelijk was van de thermische machine, en onafhankelijk was van de geluidssnelheid die een eigenschap is van het bad, dan kon men altijd v nemen om de lichtsnelheid te zijn. Hoewel een dergelijke binding niet praktisch relevant zou zijn, zou het fundamenteel zijn. Dit is vergelijkbaar met grenzen op de berekening, waar om een fundamentele binding te krijgen, moet men de poortsnelheid te nemen om oneindig te zijn (aangezien er geen fundamentele binding op deze) en het aantal bits gebruikt in het proces om te zetten in de tijd door te vermenigvuldigen met de snelheid van het licht.
een verband tussen werk in het slechtste geval wmax en tijd t wordt verkregen door het volgende op te merken. In eindige t Is het niet mogelijk om te injecteren in het bad een oneindige hoeveelheid werk. Voor de eenvoud gaan we hier uit van een lineaire relatie
waarbij de constante u afhangt van de interacties tussen systeem en gewicht. We benadrukken echter dat, als een bepaalde fysieke opstelling onjuist is gemodelleerd door de relaties (12) en (13), dan is elke andere gebonden t≥h1(wmax) en t≥h2(V) ook goed. Zolang h1 en h2 strikt monotone functies zijn, zal het principe van onbereikbaarheid gelden.
beperkingen met behulp van thermische machines
voor een bepaalde thermische machine kunnen we nu beperkingen afleiden van de temperatuur die kan worden bereikt in een bepaalde tijd t. aangezien het fysische systeem met de snelste entropiegroei die we kennen straling is, is het de moeite waard om de volgende paragraaf te wijden aan het geval 
in vergelijking (9), omdat dit een binding met brede geldigheid zou moeten opleveren. Door gebruik te maken van de specifieke relaties (12) en (13), en deze te vervangen door vergelijking (10), voor het geval van straling, verkrijgen we
in de grote T-limiet. Onze gebonden (14) kan eenvoudig worden aangepast aan elke andere relatie t≥h1(wmax) en t≥h2(V). Het is interessant om in vergelijking (14) het verband te zien tussen de karakteristieke tijd (hoe lang het duurt om af te koelen tot een vaste 
) en de grootte van het systeem VS. Door gebruik te maken van de gebruikelijke relatie ln d∝VS verkrijgen we de sublineaire schaling
iets met betrekking tot resultaat (11) is dat in de limiet λmin→0 de grens triviaal wordt 
. Dit kan worden opgelost door de begintoestand pS af te korten naar de subruimte die de grootste eigenwaarden van k bevat en de resulterende binding voor 
te optimaliseren als functie van k. ook maakt deze afkapmethode het mogelijk om al onze resultaten uit te breiden naar oneindig-dimensionale systemen (d=∞).