Factorial 52: A Stirling Problem – ThatsMaths

op hoeveel manieren kan een kaartspel geordend worden? Het is heel gemakkelijk om het antwoord te berekenen, maar zeer moeilijk om de betekenis ervan te begrijpen.

Card-Arc

er zijn 52 kaarten. De eerste kan dus op 52 manieren worden gekozen. De volgende kan elk van de resterende 51 kaarten zijn. Voor de derde, zijn er 50 keuzes, en ga zo maar door totdat er slechts één kaart blijft, waardoor alleen de optie om het laatste te zetten.

daarom is het totale aantal mogelijkheden

$52! \equiv 52 \ times 51 \ times 50 \ times \ dots \ times 3 \ times 2 \ times 1\,.$

dit getal wordt faculteit 52 genoemd. Om te zeggen dat het een groot aantal is, is een understatement. Het programma Mathematica kan willekeurige precisie berekenen en het invoeren van de opdracht Factorial levert het volgende resultaat op:

$806581751709438785716636856403766975289505440883277824000000000000$

In meer gecomprimeerde notatie is dit $8.06582\times 10^{67}$ , of, met slechts één cijfer van nauwkeurigheid, ${10^{68}}$ ; dat wil zeggen, 1 gevolgd door 68 nullen.

beschrijft 52!

Het is moeilijk om de grootte van ${52!}$ in termen van iets praktisch. Mensen hebben gesproken over het aantal druppels in de oceaan of hoeveel zandkorrels de Grand Canyon zouden vullen. Deze getallen komen nergens in de buurt van ${52!}$ .

het aantal atomen in het waarneembare universum wordt geschat op ongeveer ${10^{80}}$ , dat een biljoen keer groter is dan ${52!}$ . Maar helpt dit ons echt om te visualiseren hoe een van deze getallen eruit ziet? Het Wikipedia-artikel over namen van grote getallen beschrijft ${10^{66}}$ als een unvigintillion. Dus ${52! \approx 8 \ times 10^{67}}$ is ongeveer tachtig unvigintillion. Maar dit is maar een naam.

het universum is $4\keer 10^{17}$ seconden oud. Als elke seconde een willekeurige rangschikking van kaarten werd gekozen gedurende het hele leven van het universum, zou slechts een klein deel van alle mogelijke ordeningen worden geselecteerd. De kans dat dezelfde bestelling tweemaal wordt gekozen is volstrekt verwaarloosbaar. Zelfs als elke seconde een miljard regelingen zouden worden gekozen, zou er nog steeds geen reële kans zijn op een duplicaat.

voor een amusante beschrijving van de verbazingwekkende magnitude van ${52!}$ , zie http://czep.net/weblog/52cards.html

Stirling ‘ s benadering

de berekening van het getal ${52}$ is eenvoudig. Vermenigvuldig 52 met 51, het resultaat met 50 en ga zo maar door tot je 1 bereikt. Maar hoe lang is dat en hoe slecht is het om te dwalen?

er is een mooie uitdrukking die een benadering geeft van een faculteit, genoemd naar James Stirling (1692-1770), een Schotse wiskundige (hoewel het lijkt dat het resultaat eerder werd verklaard door Abraham de Moivre). De benadering is

$n! \approx s_1(n) \equiv \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

Dit is eigenlijk de eerste term in een asymptotische expansie. Bij de volgende term hebben we

$n! \approx s_2(n) \equiv\sqrt{2\pi n}\left (\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}\right)$

inpluggen van het argument ${n = 52}$ , de eerste formule geeft ${s_1(52) = 8.0529 \ Times 10^{67}}$ wat tot op 2 decimalen correct is. De tweede formule geeft ${s_2(52) = 8.06581\times 10^{67}}$ , met een relatieve fout van slechts één deel op een miljoen.

een andere benadering werd gevonden in de artikelen van de Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan en gepubliceerd in zijn Lost Notebook in 1988:

$\ ln (n!) \approx n \ ln(n) - n+{\frac{1}{6}}\ln(n(1+4n(1+2n)))+{\frac {1}{2}}\ln(\pi).$

Dit geeft ${52!}$ naar één deel op een miljard.

schuifelen en herhaalde Orders

met zo ‘ n groot aantal mogelijkheden, kan men zich afvragen of een willekeurig gekozen volgorde van een kaartspel meerdere keren voorkomt. Het maken van zeer redelijke veronderstellingen, is het gemakkelijk om te beweren dat een bepaalde volgorde nooit twee keer zal plaatsvinden tijdens het leven van het universum. Dus, wanneer u grondig mengen van de kaarten,bent u gebonden aan een bestelling die nooit eerder is gezien en zal nooit meer worden gezien.

Er is echter een groot voorbehoud. Het schudden van de kaarten moet voldoende grondig zijn om een echte randomisatie te garanderen. Wiskundige studies hebben aangetoond dat een klein aantal effectieve shuffles volstaat om de verpakking in willekeurige volgorde te mengen. Bayer en Diaconis (1992) toonden aan dat na zeven willekeurige riffle shuffles, een van de 52! mogelijke configuraties zijn even waarschijnlijk.

Geef een antwoord Antwoord annuleren

You may like this....