verdelingsfuncties zijn niets anders dan de waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties die worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te beschrijven waarmee een bepaald deeltje een bepaald energieniveau kan innemen. Wanneer we spreken van de distributiefunctie van Fermi-Dirac, zijn we vooral geïnteresseerd in het kennen van de kans dat we een fermion kunnen vinden in een bepaalde energietoestand van een atoom (meer informatie hierover is te vinden in het artikel “Atomic Energy States”). Met fermionen bedoelen we hier de elektronen van een atoom die de deeltjes met ½ spin zijn, gebonden aan het Pauli-uitsluitingsprincipe.

noodzaak van de distributiefunctie van Fermi Dirac

in gebieden zoals elektronica is een bepaalde factor die van primair belang is de geleidbaarheid van materialen. Dit kenmerk van het materiaal wordt veroorzaakt over het aantal elektronen die vrij zijn in het materiaal om elektriciteit te geleiden.

volgens de energiebandtheorie (zie het artikel “Energiebanden in kristallen” voor meer informatie) zijn dit het aantal elektronen dat de geleidingsband van het betrokken materiaal vormt. Dus om een idee te hebben over het geleidingsmechanisme, is het noodzakelijk om de concentratie van de dragers in de geleidingsband te kennen.

Fermi Dirac distributie expressie

wiskundig wordt de kans op het vinden van een elektron in de energietoestand E bij de temperatuur T uitgedrukt als

waarbij

de Boltzmann-constante
T de absolute temperatuur
Ef het Fermi-niveau of de Fermi-energie is

laten we nu proberen de Betekenis van Fermi niveau te begrijpen. Om dit te bereiken, plaats

in vergelijking (1). Door dit te doen krijgen we,

dit betekent dat het Fermi niveau het niveau is waarop men kan verwachten dat het elektron precies 50% van de tijd aanwezig is.

Fermi-niveau in halfgeleiders

intrinsieke halfgeleiders zijn de zuivere halfgeleiders die geen onzuiverheden bevatten. Als gevolg daarvan worden ze gekenmerkt door een gelijke kans op het vinden van een gat als dat van een elektron. Deze inturn impliceert dat zij het Fermi-niveau precies tussen de geleiding en de valentiebanden hebben zoals getoond door figuur 1a.

overweeg vervolgens het geval van een N-type halfgeleider. Hier kan men verwachten dat er meer elektronen aanwezig zijn in vergelijking met de gaten. Dit betekent dat er een grotere kans is om een elektron in de buurt van de geleidingsband te vinden dan dat van het vinden van een gat in de valentieband. Zo hebben deze materialen hun Fermi-niveau dichter bij geleidingsband zoals getoond door figuur 1b.op dezelfde gronden kan men verwachten dat het Fermi-niveau in het geval van halfgeleiders van het p-type in de buurt van de valentieband aanwezig is (Figuur 1c). Dit is omdat, deze materialen ontbreken elektronen dat wil zeggen ze hebben meer aantal gaten, waardoor de kans op het vinden van een gat in de valentieband meer in vergelijking met die van het vinden van een elektron in de geleidingsband.

effect van temperatuur op Fermi-Dirac distributiefunctie

Bij T = 0 K zullen de elektronen een lage energie hebben en dus lagere energietoestanden innemen. De hoogste energietoestand onder deze bezette Staten wordt aangeduid als Fermi-niveau. Deze inturn betekent dat geen energietoestanden die boven het Fermi-niveau liggen door elektronen worden ingenomen. Zo hebben we een stapfunctie die de Fermi-Dirac verdelingsfunctie definieert zoals getoond door de zwarte kromme in Figuur 2.naarmate de temperatuur stijgt, krijgen de elektronen echter steeds meer energie waardoor ze zelfs tot de geleidingsband kunnen stijgen. Bij hogere temperaturen kan men dus geen duidelijk onderscheid maken tussen de bezette en de onbezette toestanden zoals aangegeven door de blauwe en de rode krommen in Figuur 2.