in de wiskunde is een ring een algebraïsche structuur met twee binaire bewerkingen, gewoonlijk optellen en vermenigvuldigen genoemd. Deze operaties worden zo gedefinieerd om de gehele getallen te emuleren en te generaliseren. Andere veel voorkomende voorbeelden van ringen zijn de ring van veeltermen van een variabele met reële coëfficiënten, of een ring van vierkante matrices van een bepaalde dimensie.

om als ring te worden aangemerkt, moet optelling commutatief zijn en moet elk element onder optelling een inverse hebben: de additieve inverse van 3 is bijvoorbeeld -3. Vermenigvuldiging in het algemeen voldoet echter niet aan deze eigenschappen. Een ring waarin vermenigvuldiging commutatief is en elk element behalve het additieve identiteitselement (0) een multiplicatieve inverse (reciproque) heeft, wordt een veld genoemd: bijvoorbeeld de verzameling van rationale getallen. (De enige ring waarin 0 een inverse heeft is de triviale ring van slechts één element.)

een ring kan een eindig of oneindig aantal elementen hebben. Een voorbeeld van een ring met een eindig aantal elementen is , de verzameling resten wanneer een geheel getal wordt gedeeld door 5, dat wil zeggen de verzameling {0,1,2,3,4} met operaties zoals 4 + 4 = 3 omdat 8 rest 3 heeft wanneer gedeeld door 5. Een soortgelijke ring kan worden gevormd voor andere positieve waarden van .

formele definitie

een ring is een verzameling R uitgerust met twee binaire operaties, die gewoonlijk + en · worden aangeduid en respectievelijk optellen en vermenigvuldigen worden genoemd, zodanig dat:

• (R,+) is een abelse groep
• vermenigvuldiging is associatief
• de linker en rechter distributieve wetten houden:
  • a·(b + c) = (A·b) + (a·c)
  • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

in de praktijk wordt het symbool · meestal weggelaten en wordt vermenigvuldiging alleen aangegeven door juxtapositie. De gebruikelijke volgorde van bewerkingen wordt ook aangenomen, zodat a + bc een afkorting is voor a + (b·c). De distributieve eigenschap wordt afzonderlijk gespecificeerd voor links en rechts vermenigvuldiging om gevallen te dekken waarin vermenigvuldiging niet commutatief is, zoals een ring van matrices.

soorten ringen

Unitale ring

een ring waarin een identiteitselement voor vermenigvuldiging aanwezig is, wordt een Unitale ring, een Unitale ring of simpelweg een ring met identiteit genoemd. Het identiteitselement wordt over het algemeen aangeduid 1. Sommige auteurs, met name Bourbaki, eisen dat hun ringen een identiteit-element moeten hebben, en noemen ringen zonder een identiteit pseudorings.

commutatieve ring

een ring waarin de vermenigvuldiging commutatief is, wordt een commutatieve ring genoemd. Dergelijke commutatieve ringen zijn het basisobject van studie in de commutatieve algebra, waarin ringen over het algemeen ook een eenheid hebben.

Deelring

voor meer informatie, zie: Deelring.

een Unitale ring waarin elk niet-nul element a een inverse heeft, dat wil zeggen een element a−1 zodanig dat a-1a = aa-1 = 1, wordt een delingsring of schuin veld genoemd.

Homomorfismen van ringen

een ringhomomorfisme is een afbeelding van een ring naar een ring die de ringoperaties respecteert. Dat wil zeggen,

als de ringen unitaal zijn, wordt vaak aangenomen dat het identiteitselement van koppelt aan het identiteitselement van .

een homomorfisme kan een grotere verzameling toewijzen aan een kleinere verzameling; bijvoorbeeld, de ring kan de gehele getallen zijn en kan worden toegewezen aan de triviale ring die slechts het enkele element bevat.

Subringen

als is een ring, een subset van wordt een subring genoemd als is een ring onder de ring operaties overgenomen van . Men kan zien dat dit gelijk staat aan het eisen dat gesloten wordt onder vermenigvuldiging en aftrekking.

als unitaal is, eisen sommige auteurs dat een subring van de eenheid van moet bevatten.

Idealen

Een twee-zijdige ideaal van een ring is een subring zodanig dat voor elk element in de en elk element in de we hebben dat en elementen van . Het concept van het ideaal van een ring komt overeen met het concept van normale subgroepen van een groep. Dus kunnen we een equivalentie relatie introduceren op door te verklaren dat twee elementen van gelijkwaardig zijn als hun verschil een element is van . De reeks equivalentieklassen wordt dan aangeduid met en is een ring met de geïnduceerde bewerkingen.

als een ringhomomorfisme is, dan is de kernel van h, gedefinieerd als het inverse beeld van 0, , een ideaal van . Omgekeerd, als een ideaal van , dan is er een natuurlijke ring homomorphism, het quotiënt homomorphism, van tot zodanig dat is de verzameling van alle elementen toegewezen aan 0 .

voorbeelden

• de triviale ring {0} bestaat uit slechts één element, dat zowel als additieve als multiplicatieve identiteit dient.
• de gehele getallen vormen een ring met optellen en vermenigvuldigen zoals gebruikelijk. Dit is een commutatieve ring.
  • de rationele, reële en complexe getallen vormen elk commutatieve ringen.
• de verzameling veeltermen vormt een commutatieve ring.
• de verzameling van vierkant matrices vormt een ring onder componentgewijze optelling en matrixvermenigvuldiging. Deze ring is niet commutatief als n>1.
• de verzameling van alle continue reële-gewaardeerde functies gedefinieerd op het interval vormt een ring onder puntsgewijze optellen en vermenigvuldigen.

construeren van nieuwe ringen uit gegeven

• voor elke ring kunnen we de tegenovergestelde ring definiëren door de vermenigvuldiging in om te keren. Gegeven de vermenigvuldiging in , wordt de vermenigvuldiging in gedefinieerd als . De “identity map”van to , waarbij elk element aan zichzelf wordt toegewezen, is dan en alleen dan een isomorfisme als commutatief is. Echter, zelfs als niet commutatief is, is het nog steeds mogelijk dat en isomorf zijn met behulp van een andere kaart. Bijvoorbeeld, als de ring is van matrices van reële getallen, dan is de omzetting van naar , waarbij elke matrix wordt getransponeerd, een isomorfisme.
• Het midden van een ring is de verzameling van elementen van dat woon-werkverkeer met elk element van ; dat is, een element van het centrum als elke . Het centrum is een subring van . We zeggen dat een subring van centraal staat als het een subring is van het centrum van .
• het directe product van twee ringen R en S is het Cartesiaanse product R×S samen met de bewerkingen

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) en (r1, s1)(r2, s2) = (r1r2, s1s2). Bij deze operaties is R×S een ring.

• meer in het algemeen bestaan voor elke indexset J en verzameling ringen het directe product en de directe Som.
  • het directe product is de verzameling van “infinite-tuples” met optelling en vermenigvuldiging van componenten als bewerkingen.
  • de directe som van een verzameling ringen is de subring van het directe product dat bestaat uit alle oneindige-tupels met de eigenschap dat rj=0 voor alle, maar eindig veel j. In het bijzonder, als J eindig is, dan zijn de directe som en het directe product isomorf, maar in het algemeen hebben ze heel verschillende eigenschappen.
• Sinds enige ring is zowel een linker-en rechter-module over zichzelf, het is mogelijk om te bouwen het tensor product van R over een ring S met een andere ring T om een andere ring, mits is een centrale subring van R en T.

Geschiedenis

Het onderzoek van ringen ontstaan uit de studie van de veelterm ringen en algebraïsche aantal velden in de tweede helft van de negentiende eeuw, onder andere door Richard Dedekind. De term ring zelf werd echter bedacht door David Hilbert in 1897.

zie ook

• verklarende woordenlijst van de ringtheorie
• Algebra over een commutatieve ring
• Nietassociatieve ring

• speciale typen ringen:
  • Commutatieve ring
  • Afdeling ring
  • Veld
  • Integraal domein (ID)
  • Principal ideaal domein (PID)
  • Unieke ontbinding domein (UFD)

• constructie van ringen
  • Groep ring
  • Matrix ring
  • Polynoom ring

• Ringen met extra structuur:
  • Differentiële ring
  • de Euclidische domein (ED)