serie Geometryczneedit

każda metoda sumowania posiadająca właściwości regularności, liniowości i stabilności będzie sumować szereg geometryczny

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r . {\displaystyle \sum _{k = 0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

w tym przypadku a = 1 i r = -2, więc suma wynosi 1/3.

sumowanie Eulera

w swoim 1755 Institutiones Leonhard Euler skutecznie przyjął tzw. transformatę Eulera 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, przybywając do serii convergent 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Ponieważ ta ostatnia wynosi 1/3, Euler doszedł do wniosku, że 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Jego pomysły na nieskończone serie nie do końca podążają za nowoczesnym podejściem; dziś mówi się, że 1 − 2 + 4 − 8 + … jest sumowalna Eulera i że jej suma Eulera wynosi 1/3.

transformata Eulera rozpoczyna się sekwencją dodatnich wyrażeń:

A0 = 1, A1 = 2, A2 = 4, a3 = 8,…

Sekwencja różnic do przodu wynosi wtedy

Δa0 = A1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = A2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − A2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = A4 − A3 = 16 − 8 = 8,…

czyli taka sama sekwencja. Stąd iteracyjne sekwencje różnicowe rozpoczynają się od Δna0 = 1 dla każdego N. Transformata Eulera jest szeregiem

A 0 2-Δ a 0 4 + Δ 2 A 0 8-Δ 3 A 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2} a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3} a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {{1}{2}}-{\ frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

jest to zbieżny szereg geometryczny, którego suma wynosi 1/3 według zwykłego wzoru.

suma Borela

suma Borela 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ to również 1/3; kiedy w 1896 roku Émile Borel wprowadził formułę graniczną sumacji Borela, był to jeden z jego pierwszych przykładów po 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

p-liczby adicedytuj

ciąg sum cząstkowych związanych z 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

w metryce 2-adic jest 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1, -1,3, -5,11,\ldots }