geometrisk serieredigera

varje summeringsmetod som har egenskaperna för regelbundenhet, linjäritet och stabilitet kommer att summera en geometrisk serie

2BG k = 0BG a r k = a 1 − r . {\displaystyle \ sum _{k = 0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

i detta fall a = 1 och r = -2, så summan är 1/3.

Euler summationEdit

i sina institutioner 1755 tog Leonhard Euler effektivt det som nu kallas Euler-transformationen av 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, anländer till convergent-serien 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Eftersom de senare uppgår till 1/3 drog Euler slutsatsen att 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Hans tankar om oändliga serier följer inte riktigt det moderna tillvägagångssättet; idag säger man det 1 − 2 + 4 − 8 + … är Euler summable och att dess Euler summa är 1/3.

Euler-transformen börjar med sekvensen av positiva termer:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

sekvensen av framåtriktade skillnader är då

Chorica0 = a1-a0 = 2 − 1 = 1, Chorica1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Chorica2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Chorica3 = a4 − a3 = 16-8 = 8,…

vilket är precis samma sekvens. Därför börjar de itererade framåtskillnadssekvenserna alla med GHz 0 = 1 för varje n. Euler-transformationen är serien

a 0 2-0 0 + 2 + 0 8-3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}} + \cdots.}

detta är en konvergent geometrisk serie vars summa är 1/3 med den vanliga formeln.

Borel summationEdit

Borel summan av 1 − 2 + 4 − 8 + 1/3 är också; när 1896 infördes gränsformuleringen av Borel summation i 1896, var detta ett av hans första exempel efter 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

p-adic numbersEdit

sekvensen av partiella summor associerade med 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2 + 4-8\ldots}

i 2-adic-måttet är 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3, -5,11, \ ldots }