Serie geométricaeditar

Cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad sumará una serie geométrica

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r . {\displaystyle \sum _ {k = 0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

En este caso a = 1 y r = -2, por lo que la suma es 1/3.

Suma de Eulereditar

En sus Institutiones de 1755, Leonhard Euler tomó efectivamente lo que ahora se llama la transformada de Euler de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, llegando a la serie convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Dado que este último suma a 1/3, Euler concluyó que 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Sus ideas sobre las series infinitas no siguen del todo el enfoque moderno; hoy en día se dice que 1 − 2 + 4 − 8 + … es Euler sumable y que su suma de Euler es 1/3.

de Euler transformación comienza con la secuencia de términos positivos:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

La secuencia de las diferencias es, a continuación,

Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

que es la misma secuencia. Por lo tanto, las secuencias de diferencia hacia adelante iteradas comienzan con Δna0 = 1 para cada n. Euler transformar es la serie

0 2 − Δ 0 4 + Δ 2 0 8 − Δ 3 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

Esta es una serie geométrica convergente cuya suma es 1/3 por la fórmula habitual.

Suma de Boreleditar

La suma de Borel de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ también es 1/3; cuando Émile Borel introdujo el límite de la formulación de Borel resumen en 1896, este fue uno de sus primeros ejemplos después de 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-ádico numbersEdit

La secuencia de sumas parciales asociada con 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

en el 2-ádico métrica es 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }