Geometrische Reihenbearbeiten

Jede Summationsmethode, die die Eigenschaften Regelmäßigkeit, Linearität und Stabilität besitzt, summiert eine geometrische Reihe

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r. {\displaystyle \Summe _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

In diesem Fall ist a = 1 und r = -2, also ist die Summe 1/3.

Euler summationbearbeiten

In seinem 1755 Institutiones, Leonhard Euler effektiv nahm, was jetzt die Euler-Transformation von 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, ankunft in der konvergenten Reihe 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Da letzteres 1/3 ergibt, kam Euler zu dem Schluss, dass 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Seine Ideen zu unendlichen Serien folgen nicht ganz dem modernen Ansatz; heute sagt man das 1 − 2 + 4 − 8 + … ist Euler summierbar und dass seine Euler-Summe 1/3 ist.

Die Euler-Transformation beginnt mit der Folge positiver Terme:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

Die Folge der Vorwärtsdifferenzen ist dann

Δa0 = a1 – a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 – a1 = 4 – 2 = 2, Δa2 = a3 – a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 – a3 = 16 − 8 = 8,…

das ist genau die gleiche Sequenz. Daher beginnen die iterierten Vorwärtsdifferenzsequenzen alle mit Δna0 = 1 für jedes n. Die Euler-Transformation ist die Reihe

a 0 2 – Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8 – Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_} }{0}}{2}}-{\ frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\ frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\ frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\ cdots ={\frac {1}{2}}-{\ frac {1}{4}}+{\ frac {1}{8}}-{\ frac {1}{16}}+\cdots .}

Dies ist eine konvergente geometrische Reihe, deren Summe nach der üblichen Formel 1/3 beträgt.

Borelsummenbearbeiten

Die Borelsumme von 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ist auch 1/3; als Émile Borel 1896 die Grenzformulierung der Borelsummierung einführte, war dies eines seiner ersten Beispiele. 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adic numbersEdit

Die Folge von Teilsummen, die mit 1 − 2 + 4 − 8 … {\ displaystyle 1-2+4-8\ldots }

in der 2-adic-Metrik ist 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\ displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }