Diophantische Gleichungen waren in letzter Zeit in den Nachrichten. Dies liegt daran, dass am 6. September 2019 ein Team unter der Leitung von Forschern der Universität Bristol und des MIT bekannt gab, dass sie die endgültige Lösung für das sogenannte Problem der „Summen von drei Würfeln“ gefunden haben, bei dem ganzzahlige Lösungen für die Gleichung x3 + y3 + z3 = k für Werte von k zwischen 1 und 100 gefordert werden. Seit seiner Formulierung im Jahr 1954 an der University of Cambridge, bis 2016, jede Lösung gefunden worden war, mit Ausnahme von zwei, für k=33 und k=42. Im März dieses Jahres veröffentlichte der Mathematiker Andrew R. Booker in einem auf arXiv veröffentlichten Artikel.org gab bekannt, dass er mit wochenlanger Rechenzeit auf dem Supercomputer von Bristol die richtige Lösung für k = 33 gefunden habe. Seine Lösung, die in dem Artikel „Cracking the problem with 33“ vorgestellt wird, lautet:
Dann, nur eine Woche oder so vor, wieder brach die Nachricht: k = 42 entdeckt worden war, wieder von Booker zusammen mit einem anderen Andrew, Andrew Sutherland am MIT, mit der Crowd-Sourcing-sogenannten Charity-Engine. Ihre Antwort ist:
Für Werte von k zwischen 1 und 1000 müssen noch Lösungen für die ganzen Zahlen gefunden werden 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 und 975.
Das Problem der Summen von drei Würfeln ist ein Beispiel für ein Problem, das nach Lösungen für eine diophantische Gleichung fragt, die definiert werden kann als:
Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.
Das heißt, Diophantische Gleichungen sind Gleichungen mit mehreren unbekannten Variablen (x, y, z, ..), deren Lösungen (=0) nur dann auftreten, wenn die Koeffizienten der Gleichung (a, b, c, …) ganze Zahlen sind ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).
Die lineare diophantische Gleichung
Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, deren Lösungen auf ganze Zahlen beschränkt sind. Die prototypische lineare diophantische Gleichung lautet:
wobei a, b und c ganzzahlige Koeffizienten und x und y Variablen sind. Typische lineare diophantische Probleme betreffen daher ganze Mengen, wie z.B. (Brilliant.org , 2019):
How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?
Die Lösungen für das Problem werden gefunden, indem der Anzahl der Nickel (x) und der Anzahl der Viertel (y) Variablen zugewiesen werden. Wir wissen, dass $ 2 200 Cent (c) ist, und dass ein Nickel 5 Cent (a) und ein Viertel 25 Cent (b) wert ist. So kommen wir leicht zu der Gleichung, die die Anzahl der Möglichkeiten angibt, wie wir $ 2.00 in Nickel und Quartalen haben können:
Nun, weil dies eine einzelne Gleichung mit zwei Unbekannten können wir nicht gleichzeitig eine Variable lösen (wie man es mit einem typischen linearen Gleichungssystem tun könnte). Stattdessen können wir für den linearen Fall den folgenden Satz verwenden:
Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.
Der größte gemeinsame Teiler (GCD) von zwei oder mehr ganzen Zahlen, die nicht alle Null sind, ist die größte positive ganze Zahl, die jede der ganzen Zahlen teilt. In unserem obigen Beispiel können wir mit dem Faktorisieren des gemeinsamen Teilers 5 beginnen und erhalten:
Der größte gemeinsame Teiler von a und b, 1 und 5, ist 1. Jedes nicht negative c ist ein Vielfaches von 1. Es gibt neun solcher Vielfachen von 5, die kleiner oder gleich 40 sind. Sie sind 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Daher gibt es neun Möglichkeiten, 2,00 US-Dollar aus Nickel und Quartalen zu verdienen. Sie sind:
(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).
Der obige Prozess ist eine einfache Version der sogenannten diophantischen Analyse, des Prozesses, der erforderlich ist, um Lösungen für diophantische Gleichungen zu finden. Die Fragen, die typischerweise bei solchen Analysen gestellt werden, sind:
- Gibt es Lösungen?
- Gibt es Lösungen, die über einige hinausgehen und durch Inspektion leicht zu finden sind?
- Gibt es endlich oder unendlich viele Lösungen?
- Lassen sich theoretisch alle Lösungen finden?
- Kann man in der Praxis eine vollständige Liste von Lösungen berechnen?
Beliebte Techniken zur Lösung diophantischer Gleichungen umfassen Faktorzerlegung, Begrenzung durch Ungleichungen, Parametrisierung, modulare Arithmetik, Induktion, Fermatscher unendlicher Abstieg, Reduktion auf Pell- und fortgesetzte Brüche, Positionszahlensysteme und elliptische Kurven (Wikiversity, 2019).
Die Hardy-Ramanujan-Gleichung
Die Hardy-Ramanujan-Zahl 1729, bekannt als „Taxi-Nummer“, ist definiert als „die kleinste Zahl, die als Summe zweier Würfel auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt werden kann“, aus einer Anekdote des britischen Mathematikers G. H. Hardy, als er den indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan im Krankenhaus besuchte:“Ich erinnere mich, dass ich ihn einmal gesehen habe, als er in Putney krank war. Ich war mit dem Taxi Nummer 1729 gefahren und bemerkte, dass mir die Nummer eher langweilig vorkam und dass ich hoffte, dass es kein ungünstiges Omen war. „Nein“, antwortete Ramanujan, „es ist eine sehr interessante Zahl; es ist die kleinste Zahl, die als Summe zweier Würfel auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt werden kann.“ – G.H. Hardy (1918)
Die Gleichung im Herzen der Taxizahlen ist Diophantin, nämlich die Gleichung:
Die zwei verschiedenen möglichkeiten 1729 ist ausdruckbar als Summe zweier Würfel sind 13 + 123 und 93 + 103. Bisher sind sechs Taxinummern bekannt. Sie sind:
Ta(1) = 2
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³
Fermats letzter Satz
Zahlen, die als Summe von Würfeln ausgedrückt werden können (wie die aus dem Problem der Summe von drei Würfeln und der Hardy-Ramanujan-Zahl), wurden erstmals 1657 von Bernard Frénicle de Bessy erwähnt, der die Eigenschaft am Beispiel der Zahl 1729 in seinen Korrespondenzen mit John Wallis beschrieb und Pierre de Fermat. Fermats Name ist seitdem etwas synonym mit dem allgemeineren Fall des Problems geworden, nachdem er 1637 am Rande einer Kopie von Diophantus ‚Arithmetica behauptet hatte, dass keine drei positiven ganzen Zahlen a, b und c die diophantische Gleichung erfüllen
Was Fermat (in)bekanntermaßen erklärte, dass er sich für ganzzahlige Werte von n größer als 2 als wahr erwiesen hatte, was er jedoch nicht in seine Notizen im Buch aufnehmen konnte, da der Rand zu eng:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637
Übersetzt lautet sein Text: „Es ist unmöglich, dass ein Würfel die Summe zweier Würfel ist, eine vierte Potenz die Summe zweier vierter Potenzen oder im Allgemeinen, dass eine Zahl, die eine Potenz größer als die zweite ist, die Summe zweier gleicher Potenzen ist. Ich habe eine wahrhaft wunderbare Demonstration dieses Satzes entdeckt, dass dieser Spielraum zu eng ist, um ihn einzudämmen.“ (Nagell, 1951).Die Vermutung wurde 1994 nach 358 Jahren vom englischen Mathematiker Andrew Wiles in seinem in den Annals of Mathematics 141 (3), S. 443-551, veröffentlichten Artikel Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem endgültig bewiesen. Wiles ‚Widerspruchsbeweis auf 129 Seiten verwendet Techniken aus der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie, um einen Sonderfall des Modularitätssatzes für elliptische Kurven zu beweisen, der zusammen mit dem Satz von Ribet die Wahrheit von Fermats letztem Satz impliziert. Aufgrund seiner umfangreichen Verwendung der modernen Mathematik ist es sicher, dass Wiles ‚Beweis nicht derselbe sein kann, der von Fermat gefunden wurde – was immer noch verloren bleibt (und wahrscheinlich überhaupt kein Beweis war).
Pythagoreische Tripel
Die vielleicht bekannteste diophantische Gleichung von allen ist ein Sonderfall der Gleichung aus Fermats letztem Satz, aber für n=2. Dies ist die Gleichung, die einem hilft, die Länge der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden
Pell-Gleichung
Die Pell-Gleichung (manchmal die Pell-Fermat-Gleichung) ist eine beliebige Gleichung der folgenden Form, wobei n eine gegebene positive quadratische ganze Zahl ist und ganzzahlige Lösungen für x und y gesucht werden:
Diese diophantische Gleichung wurde zuerst geschrieben von indischen Mathematiker Brahmagupta um das Jahr 628. Er entwickelte die sogenannte Chakravala-Methode, um sie und andere unbestimmte Gleichungen zu lösen. Dies etwa tausend Jahre vor seinem Namensgeber, dem englischen Mathematiker John Pell (1611-1685), der es unter Johann Heinrich Rahn studierte. Sein Name entstand aus einer falschen Zuschreibung einer Lösung von Lord Brouncker an Pell von Leonard Euler in 1732-33.Es ist bekannt, dass Gleichungen der Form der Pell−Gleichung mit n = 2 bereits 400 v. Chr. in Indien und Griechenland untersucht wurden, zusätzlich zu dem Fall, in dem x2 – 2y2 = -1, wegen der Verbindung dieser beiden Gleichungen mit der irrationalen Zahl, die aus der Berechnung der Quadratwurzel von 2 erhalten wird (wenn x und y positive ganze Zahlen sind, die diese Gleichung erfüllen, dann ist x / y eine Annäherung an √2).In kartesischen Koordinaten hat die Gleichung die Form einer Hyperbel, da Lösungen der Gleichung überall dort auftreten, wo die Kurve durch einen Punkt verläuft, dessen x- und y-Koordinaten beide ganze Zahlen sind, wie z. B. x = 1, y = 0 und x = -1, y = 0. Lagrange hat bewiesen, dass, solange n kein perfektes Quadrat ist, die Pell-Gleichung unendlich viele verschiedene ganzzahlige Lösungen hat.
Die Erdős–Straus–Vermutung
Die Erdős-Straus-Vermutung besagt, dass für jede ganze Zahl größer als 2 die rationale Zahl 4/n als Summe von drei positiven Einheitsfraktionen ausgedrückt werden kann. Das heißt, für jede ganze Zahl n ≥ 2 gibt es positive ganze Zahlen x, y und z, so dass:
Wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist (n = pq), dann könnte eine Erweiterung für 4/ n aus einer Erweiterung von entweder 4/ p oder 4/q . Wenn also ein Gegenbeispiel existiert, müsste das kleinste n, das ein Gegenbeispiel bildet, eine Primzahl sein. Dies kann weiter auf eine von sechs unendlichen arithmetischen Progressionen modulo 840 (Mordell, 1967) beschränkt werden.
Die die Vermutung ist nach den Mathematikern Paul Erdős und Ernst G. Straus benannt, die sie 1948 formulierten. Es bleibt ab 2019 unbewiesen. Die diophantische Version der Gleichung erscheint, wenn man auf beiden Seiten mit dem Nenner multipliziert und seine Polynomform erhält:
For n=5 for instance, there are two solutions:
Euler’s Sum of Powers Conjecture
Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form
That is,
Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.
Das heißt, wenn die Summe der ersten n Terme von aᵏ gleich einem Term ist, der selbst eine k-te Potenz ist (z. B. bᵏ), muss n größer oder gleich k sein. Die Vermutung wurde 1966 von Lander und Parkin durch Computersuche widerlegt, als sie ein Gegenbeispiel für den Fall k = 5 entdeckten, das in dem sogenannten „kürzesten jemals veröffentlichten Papier“ angekündigt wurde:
Der Sonderfall von k = 4 wurde später von Elkies (1986) widerlegt, der eine Methode zur Konstruktion unendlicher Reihen von Gegenbeispielen entdeckte. Sein kleinstes Gegenbeispiel war: