diofantiiniyhtälöt ovat olleet uutisissa viime aikoina. Tämä johtuu siitä, että 6.syyskuuta 2019 Bristolin yliopiston ja MIT: n tutkijoiden johtama ryhmä ilmoitti löytäneensä lopullisen ratkaisun niin sanottuun ”kolmen kuution summiin”, joka pyytää kokonaislukuratkaisuja yhtälöön x3 + y3 + z3 = k arvoille k välillä 1 ja 100. Sen muotoilusta lähtien vuonna 1954 Cambridgen yliopistossa, aina vuoteen 2016 asti, kaikki ratkaisut oli löydetty kahta lukuun ottamatta, K=33 ja k=42. Tämän vuoden maaliskuussa matemaatikko Andrew R. Booker tutkielmassaan, joka julkaistiin arXiv-sivustolla.org ilmoitti löytäneensä oikean ratkaisun K=33: lle käyttämällä viikkoja laskenta-aikaa Bristolin supertietokoneella. Hänen ratkaisunsa, joka on esitetty paperissa ”Cracking the problem with 33”, on:
sitten, vain noin viikko sitten, jälleen uutinen levisi: K=42 oli löydetty, jälleen Booker yhdessä toisen Andrew Sutherlandin kanssa MIT: ssä, käyttäen väkijoukosta hankittua niin sanottua hyväntekeväisyysmoottoria. Heidän vastauksensa on:
k: n arvoille väliltä 1-1000, kokonaisluvuille on vielä löydettävä ratkaisuja 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 ja 975.
kolmen kuution ongelma on esimerkki ongelmasta, joka pyytää ratkaisuja Diofantiinin yhtälöön, joka voidaan määritellä seuraavasti:
Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.
eli Diofantiinin yhtälöt ovat yhtälöitä,joissa on useita tuntemattomia muuttujia (x, y, z,..), joiden ratkaisut (=0) näkyvät vain, kun yhtälön (a, b, c,…) kertoimet ovat kokonaislukuja ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).
Lineaarinen Diofantiiniyhtälö
lineaarinen Diofantiiniyhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut rajoittuvat kokonaislukuihin. Prototyyppinen lineaarinen Diofantiiniyhtälö on:
missä A, B ja C ovat kokonaislukukertoimia ja X ja Y ovat muuttujia. Tyypillisiin lineaarisiin Diofantiiniongelmiin liittyy siis kokonaisia määriä, kuten esim. Brilliant.org, 2019):
How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?
Ongelman ratkaisut löytyvät jakamalla muuttujia kolikoiden (x) ja neljännesten (y) lukumäärään. Tiedämme, että 2 dollaria on 200 senttiä (c), ja että yksi nikkeli on 5 senttiä (a) ja neljännes 25 senttiä (b). Näin voimme helposti päästä yhtälö täsmennetään useita tapoja, joilla voimme olla $2.00 nickels ja neljäsosaa:
nyt, koska tämä on yksi yhtälö, jossa on kaksi tuntematonta, emme voi ratkaista yhden muuttujan kerrallaan (kuten voisi tehdä tyypillinen järjestelmä lineaaristen yhtälöiden). Sen sijaan lineaarisessa tapauksessa voidaan käyttää seuraavaa lausetta:
Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.
kahden tai useamman kokonaisluvun suurin yhteinen jakaja (GCD), jotka eivät ole kaikki nollia, on suurin positiivinen kokonaisluku, joka jakaa jokaisen kokonaisluvun. Edellä olevasta esimerkistä voidaan aloittaa laskemalla yhteinen jakaja 5, saadaan:
a: n ja B: n, 1: n ja 5: n, suurin yhteinen jakaja on 1. Mikä tahansa ei-negatiivinen c on kertoimen 1. Tällaisia 5: n kerrannaisia on yhdeksän, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 40. Ne ovat 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Siksi on olemassa yhdeksän tapaa tehdä 2,00 dollaria nickels ja neljäsosaa. Ne ovat:
(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).
edellä mainittu prosessi on yksinkertainen versio niin sanotusta Diofantiinianalyysistä, prosessista, jota tarvitaan ratkaisujen löytämiseksi Diofantiiniyhtälöihin. Tällaisten analyysien aikana tyypillisesti kysytään seuraavia kysymyksiä:
- onko olemassa ratkaisuja?
- onko joidenkin lisäksi olemassa ratkaisuja, jotka löytyisivät helposti tarkastamalla?
- onko ratkaisuja finitely vai äärettömän monta?
- voidaanko kaikki ratkaisut löytää, teoriassa?
- Voiko käytännössä laskea täyden listan ratkaisuja?
suosittuja Diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen käytettyjä tekniikoita ovat mm.faktorihajoaminen, rajaaminen epätasa-arvolla, parametrisointi, modulaarinen aritmetiikka, induktio, Fermat ’ n ääretön laskeutuminen, reduktio pellin ja jatkuvat Murtoluvut, paikkalukujärjestelmät ja elliptiset käyrät (Wikiversity, 2019).
Hardy-Ramanujanin yhtälö
Hardy-Ramanujanin luku 1729, joka tunnetaan ”taksilukuna”, määritellään ”pienimpänä lukuna, joka ilmenee kahden kuution summana kahdella eri tavalla”, brittiläisen matemaatikon G. H. anekdootista. Hardy, kun hän vieraili intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujan sairaalassa:
”muistan kerran menneeni tapaamaan häntä, kun hän oli sairas Putneyssa. Olin ratsastanut taksilla numero 1729 ja huomautti, että numero tuntui minusta melko tylsältä ja että toivoin, ettei se ollut epäsuotuisa enne. ”Ei”, Ramanujan vastasi, ” Se on hyvin mielenkiintoinen luku; se on pienin luku expressible kuin summa kaksi kuutiota kahdella eri tavalla.— – G. H. Hardy (1918)
taksilukujen ytimessä oleva yhtälö on Diofantiini eli yhtälö:
kaksi eri tapaa 1729 on ilmaistavissa, sillä kahden kuution summa on 13 + 123 ja 93 + 103. Taksinumeroita on toistaiseksi tiedossa kuusi. Ne ovat:
Ta(1) = 2
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³
Fermat ’ n viimeinen lause
luvut, jotka voidaan ilmaista kuutioiden summana (kuten kolmen kuution ongelman summana ja Hardy-Ramanujanin lukuna), mainitsi ensimmäisen kerran vuonna 1657 Bernard frénicle de Bessy, joka kuvattu omaisuutta vedoten esimerkiksi numero 1729 hänen vastaavuudet John Wallis ja Pierre de Fermat ’ n. Fermat’ n nimestä on sittemmin tullut jonkin verran synonyymi yleisemmälle ongelmatapaukselle hänen Diofantoksen”Arithmetica” – teoksen kopion marginaalissa vuonna 1637 esittämänsä väitteen mukaan mikään kolme positiivista kokonaislukua A, b ja c eivät täytä Diofantiiniyhtälöä
mikä Fermat ’ n (in)tunnetusti totesi pitävänsä paikkansa n: n suuremmille kokonaislukuarvoille kuin 2, mutta mitä hän ei voinut sisällyttää muistiinpanoihinsa kirjaan, koska marginaali oli liian kapea:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637
käännettynä hänen tekstinsä kuuluu: ”on mahdotonta, että kuutio olisi kahden kuution summa, neljäs potenssi olisi kahden neljännen potenssin summa, tai ylipäätään mikään luku, joka on toista suurempi potenssi, olisi kahden samanlaisen potenssin summa. Olen havainnut todella suurenmoisen osoituksen tästä väitteestä, että tämä marginaali on liian kapea hillittäväksi.”(Nagell, 1951).
konjektuuri todistettiin tunnetusti lopullisesti 358 vuoden jälkeen vuonna 1994 englantilaisen matemaatikon Andrew Wilesin paperissa modulaarinen ellipsinmuotoinen käyrä ja Fermat ’ n suuri lause, joka julkaistiin Annals of Mathematics 141 (3), s.443-551. Wilesin 129 sivua pitkä ristiriidallinen todistus käyttää algebrallisen geometrian ja lukuteorian tekniikoita todistaakseen modulaarisuuslauseen erikoistapauksen ellipsinmuotoisille käyrille, jotka yhdessä Ribet ’n lauseen kanssa merkitsevät Fermat’ n viimeisen lauseen totuutta. Nykyaikaisen matematiikan laajan käytön vuoksi on varmaa, että Wilesin todistus ei voi olla sama, jonka Fermat’ n väitetään löytäneen — joka on edelleen kadonnut (eikä todennäköisesti ollut todiste lainkaan).
Pythagoraan kolminkertaistuu
kaikista ehkä tunnetuin Diofantiiniyhtälö on Fermat ’ n viimeisen lauseen yhtälön erikoistapaus, mutta n=2. Tämän yhtälön avulla voidaan löytää oikeakulmaisen kolmion sivujen pituus
pellin yhtälö
pellin yhtälö (joskus Pell-Fermat ’ n yhtälö) on mikä tahansa seuraavan muodon yhtälö, jossa n on annettu positiivinen neliötön kokonaisluku ja kokonaislukuratkaisuja haetaan x: lle ja y: lle:
tätä diofantiiniyhtälöä tutki ensimmäisen kerran laajasti Intialainen matemaatikko Brahmagupta noin vuonna 628. Hän kehitti sen ratkaisemiseen niin sanotun chakravala-menetelmän ja muita epämääräisiä yhtälöitä. Tätä noin tuhat vuotta ennen kaimaansa englantilainen matemaatikko John Pell (1611-1685) tutki työskennellessään Johann Heinrich Rahnin alaisuudessa. Sen nimi syntyi virheellinen nimeäminen ratkaisu, jonka Lord Brouncker, Pell, Leonard Euler vuonna 1732-33.
yhtälöitä, jotka ovat muotoa pellin yhtälö N = 2, tiedetään tutkittu jo 400 eaa sekä Intiassa että Kreikassa, lisäksi tapauksessa x2 − 2y2 = -1, koska näiden kahden yhtälön yhteys 2: n neliöjuuren laskemisesta saatuun irrationaalilukuun (jos x ja y ovat tämän yhtälön täyttäviä positiivisia kokonaislukuja, niin x / y on likiarvo √2).
karteesisissa koordinaateissa yhtälö on hyperbelin muotoinen, sillä ratkaisut yhtälöön tapahtuvat kaikkialla, missä käyrä kulkee sellaisen pisteen kautta, jonka x-ja y-koordinaatit ovat molemmat kokonaislukuja, kuten x = 1, y = 0 ja x = -1, y = 0. Lagrange todisti, että niin kauan kuin n ei ole täydellinen neliö, pellin yhtälöllä on äärettömän monta erillistä kokonaislukuratkaisua.
Erdős–Strausin konjektuuri
Erdős–Strausin konjektuuri toteaa, että jokaista 2: ta suurempaa kokonaislukua kohti Rationaaliluku 4 / n voidaan ilmaista kolmen positiivisen yksikkömurtoluvun summana. Eli jokaiselle kokonaisluvulle n ≥ 2 on olemassa positiiviset kokonaisluvut x, y ja z siten, että:
div >
Jos n on yhdistelmäluku (n = PQ), voidaan 4 / n: lle löytää laajennus joko 4 / p: n tai 4 / Q: n laajenemisesta. jos siis on olemassa vastaesimerkki, pienimmän vastaesimerkin muodostavan n: n on oltava alkuluku. Tämä tulos on edelleen rajoitettu yksi kuudesta ääretön aritmeettinen progressions modulo 840 (Mordell, 1967).
konjektuuri on nimetty matemaatikot Paul Erdősin ja Ernst G. Strausin mukaan, jotka muotoilivat sen vuonna 1948. Se on edelleen todistamatta vuodesta 2019. Yhtälön Diofanttinen versio esiintyy, kun toinen kertoo nimittäjällä molemmin puolin ja saa polynomimuotonsa:
For n=5 for instance, there are two solutions:
Euler’s Sum of Powers Conjecture
Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form
That is,
Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.
eli jos aᵏ: n ensimmäisten n-termien summa on yhtä suuri kuin termi, joka on itse K: n potenssi (esimerkiksi bᵏ), niin n on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin k. konjektuuri oli Eulerin yritys yleistää Fermat ’ n suuri lause. Otaksuma oli vääräksi vuonna 1966, Lander ja Parkin kautta computer search, kun he löysivät counterexample tapauksessa k=5, ilmoitti ns ”Lyhin paperi koskaan julkaistu”:
k = 4: n erikoistapauksen osoitti myöhemmin vääräksi Elkies (1986), joka keksi menetelmän rakentaa ääretön sarja vastanäytteitä. Hänen pienin vastaesikuvansa oli: