Seriesedit geométrico

qualquer método de soma que possua as propriedades de regularidade, linearidade e estabilidade irá somar uma série geométrica

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − R. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}

neste caso a = 1 e r = -2, de modo que a soma é 1/3.

Euler summationEdit

No seu 1755 Institutiones, Leonhard Euler, efetivamente, levou ao que hoje é chamado de Euler transformação de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, chegando ao convergente série 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Uma vez que este último montante ascende a 1/3, a Euler concluiu que: 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. As suas ideias sobre séries infinitas não seguem a abordagem moderna; hoje diz-se que 1 − 2 + 4 − 8 + … é Euler somável e que sua soma Euler é de 1/3.

O Euler transformação começa com a seqüência de termos positivos:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

A sequência de frente diferenças é, em seguida,

Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

Que é apenas a mesma sequência. Assim, as sequências iteradas de diferença para a frente começam todas com Δna0 = 1 para cada n. A Transformada de Euler é a série

a 0 2-Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8-Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

Esta é uma série geométrica convergente cuja soma é 1/3 pela fórmula usual.

soma de Borel

a soma de Borel de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ is also 1/3; quando Émile Borel introduziu o limite de formulação de Borel soma em 1896, este foi um dos seus primeiros exemplos depois 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-adic numbersEdit

A sequência de somas parciais associados 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

no 2-adic métrica é 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }