serie Geometricaedit

orice metodă de însumare care posedă proprietățile regularității, liniarității și stabilității va însuma o serie geometrică

k = 0 a r k = a 1 − r . {\displaystyle \ sum _ {k=0} ^ {\infty }ar ^ {k}={\frac {a}{1-r}}.}

În acest caz a = 1 și r = -2, deci suma este 1/3.

Euler sumationedit

în Institutiones sale 1755, Leonhard Euler a luat în mod eficient ceea ce se numește acum transformarea Euler de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, ajungând la seria convergentă 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Întrucât acesta din urmă se ridică la 1/3, Euler a concluzionat că 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Ideile sale despre seriile infinite nu urmează destul de mult abordarea modernă; astăzi se spune că 1 − 2 + 4 − 8 + … este Euler sumabil și că suma sa Euler este 1/3.

transformarea Euler începe cu secvența de termeni pozitivi:

a0 = 1, a1 = 2, A2 = 4, A3 = 8,…

succesiunea diferențelor înainte este atunci

0 = A1-a0 = 2 – 1 = 1, 1 = A2 − A1 = 4 − 2 = 2, 2 = A3-A2 = 8 – 4 = 4, 3 = A4 − A3 = 16 − 8 = 8,…

care este doar aceeași secvență. Prin urmare, secvențele de diferență înainte iterate încep toate cu Xqemna0 = 1 pentru fiecare n. Transformata Euler este seria

A 0 2-A 0 4 + A 0 8 − A 0 8-A 0 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

aceasta este o serie geometrică convergentă a cărei sumă este 1/3 prin formula obișnuită.

Borel sumationedit

suma Borel de 1 − 2 + 4 − 8 + de asemenea, este 1/3; când a introdus formula limită a însumării Borel în 1896, acesta a fost unul dintre primele sale Exemple după 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

p-adic numbersEdit

secvența sumelor parțiale asociate cu 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2 + 4-8 \ ldots}

în metrica 2-adic este 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1, -1,3, -5,11, \ ldots }