ecuațiile diofantine au fost în știri în ultima vreme. Acest lucru se datorează faptului că, pe 6 septembrie 2019, o echipă condusă de cercetători de la Universitatea din Bristol și MIT a anunțat că au descoperit soluția finală la așa-numita problemă „sume de trei cuburi”, care solicită soluții întregi la ecuația x3 + y3 + z3 = k pentru valori de k între 1 și 100. De la formularea sa în 1954 la Universitatea din Cambridge, până în 2016, Fiecare soluție a fost găsită, cu excepția a două, pentru k=33 și k=42. În luna martie a acestui an, matematicianul Andrew R. Booker într-o lucrare publicată pe arXiv.org a anunțat că a găsit soluția corectă pentru k=33 folosind săptămâni de timp de calcul pe supercomputerul Bristol. Soluția sa, prezentată în lucrarea „Cracking the problem with 33” este:

apoi, cu doar o săptămână în urmă, a apărut din nou vestea: k=42 fusese descoperit, din nou de Booker împreună cu un alt Andrew, Andrew Sutherland la MIT, folosind așa-numitul motor de caritate. Răspunsul lor este:

pentru valorile lui K între 1 și 1000, rămân de găsit soluții pentru numerele întregi 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 și 975.

problema sumelor a trei cuburi este un exemplu de problemă care cere soluții la o ecuație Diofantină, care poate fi definită ca:

Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.

adică ecuațiile diofantine sunt ecuații cu mai multe variabile necunoscute (x, y,z,..) ale căror soluții (=0) apar numai atunci când coeficienții ecuației (a, b, c, …) sunt numere întregi ( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).

ecuația Diofantină liniară

o ecuație diofantină liniară este o ecuație de gradul I ale cărei soluții sunt limitate la numere întregi. Ecuația diofantină liniară prototipică este:

unde A, B și C sunt coeficienți întregi și X și Y sunt variabile. Problemele diofantine liniare tipice implică, prin urmare, cantități întregi, cum ar fi de exemplu (Brilliant.org, 2019):

How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?

soluțiile problemei se găsesc prin atribuirea variabilelor numărului de nickeli (x) și numărului de sferturi (y). Știm că $2 este 200 cenți (c), și că un nichel este în valoare de 5 cenți (a) și un sfert 25 cenți (b). Astfel, ajungem cu ușurință la ecuația care specifică numărul de moduri în care putem avea 2,00 USD în monede și sferturi:

acum, pentru că aceasta este o singură ecuație cu două necunoscute, nu putem rezolva pentru o variabilă la un moment dat (așa cum s-ar putea face cu un sistem tipic de ecuații liniare). În schimb, pentru cazul liniar, putem folosi următoarea teoremă:

Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.

cel mai mare divizor comun (GCD) al a două sau mai multe numere întregi, care nu sunt toate zero, este cel mai mare număr întreg pozitiv care împarte fiecare dintre numere întregi. Pentru exemplul nostru de mai sus, putem începe prin factorizarea divizorului comun 5, obținând:

cel mai mare divizor comun al lui a și B, 1 și 5, este 1. Orice c non-negativ este un multiplu de 1. Există nouă astfel de multipli de 5 care sunt mai mici sau egale cu 40. Acestea sunt 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Prin urmare, există nouă moduri de a face $2.00 de la nickels și sferturi. Acestea sunt:

(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).

procesul de mai sus este o versiune simplă a ceea ce se numește analiză Diofantină, procesul necesar pentru găsirea soluțiilor la ecuațiile diofantine. Întrebările adresate în mod obișnuit în timpul acestor analize sunt:

• există soluții?
• există soluții dincolo de unele care sunt ușor de găsit prin inspecție?
• există soluții finite sau infinit de multe?
• pot fi găsite toate soluțiile, în teorie?
• se poate calcula în practică o listă completă de soluții?

tehnicile populare utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor diofantine includ descompunerea factorilor, încadrarea prin inegalități, parametrizarea, aritmetica modulară, inducția, coborârea infinită a lui Fermat, reducerea la fracțiile lui Pell și continuate, sisteme numerice poziționale și curbe eliptice (Wikiversity, 2019).

ecuația Hardy-Ramanujan

Numărul Hardy-Ramanujan 1729, cunoscut sub numele de „numărul taxiului”, este definit ca „cel mai mic număr exprimabil ca suma a două cuburi în două moduri diferite”, dintr-o anecdotă a matematicianului Britanic G. H. Hardy când l-a vizitat pe matematicianul Indian Srinivasa Ramanujan în spital:

„îmi amintesc că o dată mă duceam să-l văd când era bolnav la Putney. Am mers în numărul de taxi taxi 1729 și a remarcat că numărul mi se părea mai degrabă una plictisitoare, și că am sperat că nu a fost un semn nefavorabil. „Nu”, a răspuns Ramanujan, ” este un număr foarte interesant; este cel mai mic număr care poate fi exprimat ca suma a două cuburi în două moduri diferite.”- G. H. Hardy (1918)

ecuația din Centrul numerelor taxiurilor este Diofantina, și anume ecuația:

cele două moduri diferite 1729 este expresibil ca suma a două cuburi sunt 13 + 123 și 93 + 103. Până în prezent, sunt cunoscute șase numere de taxi. Acestea sunt:

Ta(1) = 2 
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729 
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319 
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248 
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³

ultima teoremă a lui Fermat

numerele expresibile ca sumă de cuburi (cum ar fi cele din suma a trei cuburi problemă și numărul Hardy-Ramanujan) au fost menționate pentru prima dată în 1657 de Bernard fr citând exemplul numărului 1729 în corespondențele sale cu John Wallis și Pierre de Fermat. Numele lui Fermat de atunci a devenit oarecum sinonim cu cazul mai general al problemei, în urma afirmației sale din 1637 în marginea unei copii a lui Diophantus Arithmetica că nu există trei numere întregi pozitive A, b și c satisfac ecuația Diofantină

care Fermat (in)a declarat faimos că s-a dovedit a fi adevărat pentru valori întregi de n mai mari de 2, dar pe care nu le-a putut include în notele sale din carte, deoarece prea îngust:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637

tradus, textul său spune „este imposibil ca un cub să fie suma a două cuburi, o a patra putere să fie suma a două puteri a patra sau, în general, pentru orice număr care este o putere mai mare decât a doua să fie suma a două puteri asemănătoare. Am descoperit o demonstrație cu adevărat minunată a acestei propoziții că această marjă este prea îngustă pentru a o conține.”(Nagell, 1951).

conjectura a fost dovedită în cele din urmă după 358 de ani în 1994 de matematicianul englez Andrew Wiles în lucrarea sa curbe eliptice modulare și ultima teoremă a lui Fermat publicată în Analele matematicii 141 (3), pp.443-551. Dovada lui Wiles prin contradicție, lungă de 129 de pagini, folosește tehnici din geometria algebrică și teoria numerelor pentru a dovedi un caz special al teoremei modularității pentru curbele eliptice, care împreună cu teorema lui Ribet implică adevărul ultimei teoreme a lui Fermat. Datorită utilizării extinse a matematicii moderne, este sigur că dovada lui Wiles nu poate fi aceeași pretinsă a fi găsită de Fermat — care rămâne încă pierdută (și probabil nu a fost deloc o dovadă).

triplele pitagoreice

poate cea mai cunoscută ecuație Diofantină dintre toate este un caz particular al ecuației din ultima teoremă a lui Fermat, dar pentru n=2. Aceasta este ecuația care ajută la găsirea lungimii laturilor unui triunghi cu unghi drept

ecuația lui Pell

ecuația lui Pell (uneori ecuația Pell-Fermat) este orice ecuație de următoarea formă în care n este un număr întreg fără pătrat pozitiv dat și se caută soluții întregi pentru x și y:

această ecuație diofantină a fost studiată pentru prima dată pe larg de matematicianul Indian Brahmagupta în jurul anului 628. El a dezvoltat așa-numita metodă chakravala pentru rezolvarea ei și a altor ecuații nedeterminate. Acest lucru cu aproximativ o mie de ani înainte de omonimul său, matematicianul englez John Pell (1611-1685) a studiat-o în timp ce lucra sub Johann Heinrich Rahn. Numele său a apărut dintr-o atribuire greșită a unei soluții furnizate de Lord Brouncker lui Pell de Leonard Euler în 1732-33.

se știe că ecuațiile de formă ale ecuației lui Pell cu n = 2 au fost studiate încă din 400 î.hr. atât în India, cât și în Grecia, pe lângă cazul în care x2 − 2Y2 = -1, datorită legăturii acestor două ecuații cu numărul irațional obținut din calcularea rădăcinii pătrate a lui 2 (Dacă x și y sunt numere întregi pozitive care satisfac această ecuație, atunci x/y este o aproximare a lui 2).

în coordonatele carteziene, ecuația are forma unei hiperbole, deoarece soluțiile la ecuație apar oriunde curba trece printr-un punct ale cărui coordonate x și y sunt ambele numere întregi, cum ar fi x = 1, y = 0 și x = -1, y = 0. Lagrange a dovedit că atâta timp cât n nu este un pătrat perfect, ecuația lui Pell are infinit de multe soluții întregi distincte.

conjectura Erdei XTX–Straus

conjectura Erdei XTX–Straus afirmă că pentru fiecare număr întreg mai mare de 2, Numărul rațional 4 / n poate fi exprimat ca suma a trei fracții unitare pozitive. Adică, pentru fiecare număr întreg n 2, există numere întregi pozitive x,y și z astfel încât:

dacă n este un număr compus (N = PQ), atunci o expansiune pentru 4/n ar putea fi găsită dintr-o expansiune de 4 / P sau 4 / Q. astfel, dacă există un contraexemplu, cel mai mic n care formează un contraexemplu ar trebui să fie un număr prim. Acest rezultat să fie limitată în continuare la una din cele șase progresii aritmetice infinite modulo 840 (Mordell, 1967).

conjectura este numită după matematicienii Paul erds și Ernst G. Straus care au formulat-o în 1948. Rămâne nedovedit începând cu 2019. Versiunea Diofantină a ecuației apare atunci când se înmulțește cu numitorul pe ambele părți și se obține forma sa polinomială:

For n=5 for instance, there are two solutions:

Euler’s Sum of Powers Conjecture

Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form

That is,

Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.

adică, dacă suma primilor n termeni ai unui hectar este egală cu un termen care este el însuși o putere kth (de exemplu, B inkt), atunci n trebuie să fie mai mare sau egal cu k. conjectura a fost o încercare a lui Euler de a generaliza ultima teoremă a lui Fermat. Conjectura a fost respinsă în 1966 de Lander și Parkin prin căutare pe computer, când au descoperit un contraexemplu pentru cazul k = 5, anunțat în așa-numita”cea mai scurtă lucrare publicată vreodată”:

Lander & Parkin (1966). Contraexemplu la conjectura lui Euler asupra sumelor de puteri similare. Buletinul Societății Americane de matematică, 72 (6). PP. 1079.

cazul special al lui k = 4 a fost ulterior respins de Elkies (1986) care a descoperit o metodă de construire a unei serii infinite de contraexemple. Cel mai mic contraexemplu al său a fost: