Série géométriquedit

Toute méthode de sommation possédant les propriétés de régularité, de linéarité et de stabilité additionnera une série géométrique

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1−r. {\displaystyle\sum_{k= 0}^{\infty} ar^{k} ={\frac{a}{1-r}}.}

Dans ce cas a = 1 et r =-2, donc la somme est 1/3.

Résumé d’Euler

Dans ses Institutiones de 1755, Leonhard Euler a effectivement pris ce qu’on appelle maintenant la transformée d’Euler de 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, arriver à la série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Puisque cette dernière se résume à 1/3, Euler a conclu que 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Ses idées sur les séries infinies ne suivent pas tout à fait l’approche moderne; on dit aujourd’hui que 1 − 2 + 4 − 8 + … est sommable d’Euler et que sa somme d’Euler est 1/3.

La transformée d’Euler commence par la séquence de termes positifs :

a0=1, a1=2, a2=4, a3=8,…

La séquence des différences directes est alors

Δa0= a1−a0=2 − 1=1, Δa1= a2−a1=4 − 2 = 2, Δa2 = a3−a2 = 8 − 4 =4, Δa3= a4−a3=16 − 8 =8,…

qui est juste la même séquence. Par conséquent, les séquences de différence directe itérées commencent toutes par Δna0 = 1 pour chaque n. La transformée d’Euler est la série

a 0 2 – Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8 – Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle{\frac{a_{0}}{2}}-{\ frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\ frac {\Delta^{2}a_{0}}{8}}-{\ frac {\Delta^{3}a_{0}}{16}}+\ cdot = {\frac {1}{2}}-{\ frac {1}{4}}+{\ frac {1}{8}}-{\ frac {1} {16}} + \cdots.}

Il s’agit d’une série géométrique convergente dont la somme vaut 1/3 par la formule usuelle.

Somme de borelmodiFier

La somme de Borel de 1 − 2 + 4 − 8 + is est également 1/3; lorsque Émile Borel introduit la formulation limite de la sommation de Borel en 1896, ce fut l’un de ses premiers exemples après 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

Nombres P-adiques

La suite des sommes partielles associées à 1 − 2 + 4 − 8 … {\ displaystyle 1-2+4-8\ldots}

dans la métrique 2-adique est 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\ displaystyle 1, -1,3, -5,11, \ldots}