Serie geometrichemodifica

Qualsiasi metodo di sommatoria che possieda le proprietà di regolarità, linearità e stabilità sommerà una serie geometrica

k k = 0 ∞ a r k = a 1 − r . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.

In questo caso a = 1 e r = -2, quindi la somma è 1/3.

Somma di euleromodifica

Nel suo 1755 Institutiones, Leonhard Euler prese efficacemente quella che ora è chiamata la trasformata di Eulero di 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, arrivando alla serie convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Poiché quest’ultimo ammonta a 1/3, Eulero ha concluso che 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Le sue idee sulle serie infinite non seguono abbastanza l’approccio moderno; oggi si dice che 1 − 2 + 4 − 8 + … è Eulero sommabile e che la sua somma di Eulero è 1/3.

di Eulero trasformare inizia con la sequenza di termini positivi:

a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…

La sequenza di differenze in avanti è quindi

Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…

che è solo la stessa sequenza. Quindi le sequenze di differenza in avanti iterate iniziano tutte con Δna0 = 1 per ogni n. La trasformata di Eulero è la serie

a 0 2-Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8-Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}

Questa è una serie geometrica convergente la cui somma è 1/3 dalla solita formula.

Somma di borelmodiFica

La somma di Borel di 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ è anche 1/3; quando Émile Borel ha introdotto il limite di formulazione di Borel sommatoria nel 1896, questo è stato uno dei primi esempi dopo 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

P-cioè numbersEdit

La sequenza di somme parziali associati 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }

2 cioè metrica 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }