Geometrische serieedit
elke sommatiemethode met de eigenschappen regelmaat, lineariteit en stabiliteit zal een geometrische reeks
sum K = 0 ∞ a r k = a 1 − r optellen . {\displaystyle \ sum _{k = 0}^{\infty }ar^{k} = {\frac {a}{1-r}}.}
In dit geval a = 1 en r = -2, dus de som is 1/3.
Euler summationEdit
in zijn 1755 Instellingen nam Leonhard Euler effectief wat nu de Euler-transformatie van 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯, aankomst bij de convergent series 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯. Aangezien deze laatste 1/3 bedraagt, concludeerde Euler dat 1 − 2 + 4 − 8 + … = 1/3. Zijn ideeën over oneindige series volgen niet helemaal de moderne benadering; vandaag zegt men dat 1 − 2 + 4 − 8 + … is Euler-som en dat zijn Euler-Som 1/3 is.
De Euler-transformatie begint met de reeks positieve termen:
a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8,…
De volgorde van voorwaartse verschillen is dan
Δa0 = a1-a0 = 2 – 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,…
wat precies dezelfde volgorde is. Vandaar dat de herhaalde voorwaartse verschilsequenties allemaal beginnen met Δna0 = 1 voor elke n. De Euler-transformatie is de reeks
a 0 2-Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8-Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}
Dit is een convergente geometrische reeks waarvan de som 1/3 is volgens de gebruikelijke formule.
Borel sommatiedit
De Borel som van 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ is ook 1/3; wanneer Emile Borel introduceerde de limiet formulering van Borel sommatie in 1896, dit was één van de eerste voorbeelden na 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
P-adische numbersEdit
de volgorde van De gedeeltelijke sommen geassocieerd met 1 − 2 + 4 − 8 … {\displaystyle 1-2+4-8\ldots }
in de 2-adische metriek is 1 , − 1 , 3 , − 5 , 11 , … {\displaystyle 1,-1,3,-5,11,\ldots }
