Diophantine vergelijkingen zijn in het nieuws de laatste tijd. Dit omdat, op 6 September 2019 een team onder leiding van onderzoekers aan de Universiteit van Bristol en MIT aangekondigd dat ze de definitieve oplossing voor de zogenaamde “sommen van drie kubussen” probleem had ontdekt, die vraagt om integer oplossingen voor de vergelijking x3 + y3 + z3 = k voor waarden van k tussen 1 en 100. Sinds de formulering in 1954 aan de Universiteit van Cambridge, tot 2016, was elke oplossing gevonden, behalve twee, voor k = 33 en k=42. In Maart van dit jaar, wiskundige Andrew R. Booker in een paper gepubliceerd op arXiv.org kondigde aan dat hij de juiste oplossing had gevonden voor k=33 met behulp van weken rekentijd op Bristol ‘ s supercomputer. Zijn oplossing, gepresenteerd in het artikel: “het Kraken van het probleem met 33” is:
Vervolgens, na een week of zo geleden, weer het nieuws brak: k=42 was ontdekt, weer door Booker samen met een andere Andrew Andrew Sutherland aan het MIT, het gebruik van de crowd-sourced zogenaamde Liefde van de Motor. Hun antwoord is:
Voor de waarden van k tussen 1 en 1000, oplossingen zijn nog steeds te vinden voor de gehele getallen 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 en 975.
het probleem van de som van drie kubussen is een voorbeeld van een probleem dat vraagt om oplossingen voor een diofantische vergelijking, die kan worden gedefinieerd als:
Definition
A Diophantine equation is an algebraic equation with several unknowns and integer coefficients.
dat wil zeggen, diofantische vergelijkingen zijn vergelijkingen met verschillende onbekende variabelen (x,y, z, ..) waarvan de oplossingen (=0) alleen verschijnen als de coëfficiënten van de vergelijking (a, b, c,…) gehele getallen zijn( … ,-2, -1, 0, 1, 2, … ).
de lineaire Diofantinevergelijking
een lineaire Diofantinevergelijking is een vergelijking van de eerste graad waarvan de oplossingen beperkt zijn tot gehele getallen. De prototypische lineaire diofantinevergelijking is:
waarbij a, b en c gehele coëfficiënten zijn en X en y variabelen zijn. Typische lineaire diofantische problemen hebben dus betrekking op hele hoeveelheden, zoals bijv. (Brilliant.org, 2019):
How many ways are there to make $2.00 from only nickels and quarters?
de oplossingen voor het probleem worden gevonden door variabelen toe te wijzen aan het aantal nickels (x) en het aantal kwartalen (y). We weten dat $ 2 200 cent (c) is, en dat een nikkel 5 Cent (a) en een kwart 25 cent (b) waard is. Zo komen we gemakkelijk bij de vergelijking die het aantal manieren specificeert waarop we $ 2,00 in stuivers en kwartalen kunnen hebben:
nu, omdat dit een enkele vergelijking met twee onbekenden, kunnen we niet oplossen voor één variabele tegelijk (zoals men zou kunnen doen met een typisch systeem van lineaire vergelijkingen). In plaats daarvan kunnen we voor het lineaire geval de volgende stelling gebruiken:
Linear Diophantine equations have integer solutions if and only if c is a multiple of the greatest common divisor of a and b.If integers (x, y) constitute a solution to the linear Diophantine equation for given a, b and c, then the other solutions have the form (x + kv, y - ku) where k is an arbitrary integer and u and v are the quotients of a and b (respectively) by the greatest common divisors of a and b.
de grootste gemeenschappelijke deler (GCD) van twee of meer gehele getallen, die niet allemaal nul zijn, is het grootste positieve gehele getal dat elk van de gehele getallen deelt. Voor ons voorbeeld hierboven, kunnen we beginnen door factoring uit het gemene deler 5, het verkrijgen van:
De grootste gemene deler van a en b, 1 en 5, is 1. Elke niet-negatieve c is een veelvoud van 1. Er zijn negen van dergelijke veelvouden van 5 die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan 40. Zij zijn 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Daarom zijn er negen manieren om $2,00 te maken van nickels en kwartalen. Zij zijn:
(0, 8), (5, 7), (10, 6), (15, 5), (20, 4), (25, 3), (30, 2), (35, 1) og (40, 0).
het bovenstaande proces is een eenvoudige versie van wat diofantische analyse wordt genoemd, het proces dat nodig is voor het vinden van oplossingen voor diofantische vergelijkingen. De vragen die gewoonlijk worden gesteld tijdens dergelijke analyses zijn:
- zijn er oplossingen?
- zijn er andere oplossingen die gemakkelijk door inspectie kunnen worden gevonden?
- zijn er eindig of oneindig veel oplossingen?
- kunnen in theorie alle oplossingen worden gevonden?
- kan men in de praktijk een volledige lijst van oplossingen berekenen?
populaire technieken die gebruikt worden om diofantische vergelijkingen op te lossen zijn onder andere factordecompositie, begrenzing door ongelijkheden, parametrisatie, modulaire rekenkunde, inductie, Fermat ’s oneindige afdaling, reductie tot Pell’ s en continue breuken, positionele numerieke systemen en elliptische krommen (Wikiversity, 2019).
de vergelijking Hardy-Ramanujan
Het Hardy-Ramanujan-nummer 1729, bekend als een “taxichauffeurnummer” wordt gedefinieerd als “het kleinste getal dat kan worden uitgedrukt als de som van twee kubussen op twee verschillende manieren”, naar een anekdote van de Britse wiskundige G. H. Hardy toen hij de Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan bezocht in het ziekenhuis:
“Ik herinner me dat ik hem ooit bezocht toen hij ziek was in Putney. Ik had gereden in taxi nummer 1729 en merkte op dat het nummer leek mij nogal een saaie, en dat ik hoopte dat het was niet een ongunstig voorteken. “Nee,” antwoordde Ramanujan, ” het is een zeer interessant getal; het is het kleinste getal dat kan worden uitgedrukt als de som van twee kubussen op twee verschillende manieren.”- G. H. Hardy (1918)
de vergelijking in het hart van taxikabnummers is Diofantisch, namelijk de vergelijking:
De twee verschillende manieren 1729 is uit te drukken als de som van twee kubussen zijn 13 + 123 en 93 + 103. Tot nu toe zijn er zes taxi nummers bekend. Zij zijn:
Ta(1) = 2
= 1³ + 1³Ta(2) = 1,729
= 1³ + 12³ = 9³ + 10³Ta(3) = 87,539,319
= 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³Ta(4) = 6,963,472,309,248
= 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 16630³Ta(5) = 48,988,659,276,962,496
= 38787³ + 365757³ = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ =231518³ + 331954³Ta(6) = 24,153,319,581,254,312,065,344
= 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³
Fermat ‘ s Laatste Stelling
Getallen kunnen worden uitgedrukt als de som van kubussen (zoals die van de som van de drie blokjes probleem en Hardy-Ramanujan aantal) werden voor het eerst vermeld in 1657 door Bernard Frénicle de Bessy, die beschreven de goederen naar het voorbeeld van het aantal 1729 in zijn correspondenties met John Wallis en Pierre de Fermat. Fermat ’s naam sinds geworden, wat synoniem is met het meer algemene geval van het probleem, naar aanleiding van zijn 1637 bewering in de marge van een exemplaar van Diophantus’ Arithmetica dat er geen drie positieve gehele getallen a, b, en c voldoen aan de Diophantine vergelijking
Die Fermat (in)beroemde verklaard dat hij had bewezen te worden voldaan voor gehele waarden van n groter dan 2, maar die kon hij niet in zijn aantekeningen in het boek, omdat de marge was te smal:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet - Pierre de Fermat, 1637
vertaald luidt zijn tekst: “Het is onmogelijk voor een kubus om de som van twee kubussen te zijn, een vierde macht om de som van twee vierde machten te zijn, of in het algemeen voor een getal dat een macht groter is dan de tweede om de som van twee soortgelijke machten te zijn. Ik heb een werkelijk prachtige demonstratie ontdekt van deze stelling dat deze marge te smal is om in te houden.”(Nagell, 1951).het vermoeden werd na 358 jaar in 1994 definitief bewezen door de Engelse wiskundige Andrew Wiles in zijn paper Modular elliptic curves en Fermat ‘ s laatste stelling gepubliceerd in de annalen van de wiskunde 141 (3), pp 443-551. Wiles ‘proof by contradiction, op 129 pagina’ s lang, gebruikt technieken uit de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie om een speciaal geval van de modulariteitsstelling voor elliptische krommen te bewijzen, die samen met de stelling van Ribet de waarheid van de laatste stelling van Fermat impliceert. Door het uitgebreide gebruik van de moderne wiskunde is het zeker dat Wiles’ bewijs niet hetzelfde kan zijn als waarvan beweerd wordt dat het gevonden is door Fermat — wat nog steeds verloren blijft (en waarschijnlijk helemaal geen bewijs was).
Pythagorese triples
De misschien wel bekendste diofantische vergelijking van all is een bepaald geval van de vergelijking uit de laatste stelling van Fermat, maar voor n = 2. Dit is de vergelijking die helpt bij het vinden van de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek
Pell ’s vergelijking
Pell’ s vergelijking (soms de Pell-Fermat-vergelijking) is een vergelijking van de volgende vorm waarin n een gegeven positief vierkant-vrij geheel getal is en integer oplossingen worden gezocht voor x en y:
Dit Diofantine de vergelijking werd voor het eerst uitgebreid bestudeerd door de Indiase wiskundige Brahmagupta rond het jaar 628. Hij ontwikkelde de zogenaamde chakravala methode om het op te lossen en andere onbepaalde vergelijkingen. Ongeveer duizend jaar voor zijn naamgenoot bestudeerde de Engelse wiskundige John Pell (1611-1685) het tijdens zijn werk bij Johann Heinrich Rahn. De naam is afgeleid van een foutieve toeschrijving van een oplossing die Lord Brouncker in 1732-1733 aan Pell had gegeven door Leonard Euler.
vergelijkingen van de vorm van Pell ‘ s vergelijking met n = 2 zijn al bestudeerd in zowel India als Griekenland, naast het geval waarin x2 − 2y2 = -1, vanwege het verband van deze twee vergelijkingen met het irrationele getal verkregen uit de berekening van de vierkantswortel van 2 (als x en y positieve gehele getallen zijn die aan deze vergelijking voldoen, dan is x/y een benadering van √2).
in cartesiaanse coördinaten heeft de vergelijking de vorm van een hyperbool, omdat oplossingen voor de vergelijking voorkomen waar de kromme door een punt gaat waarvan de x-en y-coördinaten beide gehele getallen zijn, zoals x = 1, y = 0 en x = -1, y = 0. Lagrange bewees dat zolang n geen perfect vierkant is, Pell ‘ s vergelijking oneindig veel verschillende integer oplossingen heeft.
het vermoeden van Erdős–Straus
het vermoeden van Erdős–Straus stelt dat Voor elk geheel getal groter dan 2, het rationale getal 4/n kan worden uitgedrukt als de som van drie positieve eenheidsfracties. Dat is, voor elk geheel getal n ≥ 2 is er sprake van positieve gehele getallen x,y en z zodanig dat:
Als n een samengesteld getal (n = pq), dan is een uitbreiding voor 4/n kan worden gevonden van een groei van 4/p of 4/q. Dus, als een tegenvoorbeeld bestaan, de kleinste n vormen een tegenvoorbeeld zou een priemgetal. Dit resultaat wordt verder beperkt tot een van de zes oneindige rekenkundige progressies modulo 840 (Mordell, 1967).
Het vermoeden is vernoemd naar wiskundigen Paul Erdős en Ernst G. Straus, die formuleerde het in 1948. Het blijft onbewezen vanaf 2019. De diofantische versie van de vergelijking verschijnt wanneer men vermenigvuldigt met de noemer aan beide zijden en verkrijgt zijn polynomiale vorm:
For n=5 for instance, there are two solutions:
Euler’s Sum of Powers Conjecture
Leonard Euler in 1769 incorrectly conjectured that Diophantine equations of the form
That is,
Euler's sum of powers conjecture
For all integers n and k greater than 1, if the sum of the n kth powers of positive integers is itself a kth power, then n is greater than or equal to k.
dat wil zeggen dat als de som van de eerste n termen van aᵏ gelijk is aan een term die zelf een K-de macht is (bijvoorbeeld bᵏ), dan moet n groter zijn dan of gelijk zijn aan k. het vermoeden was een poging van Euler om Fermat ‘ s laatste stelling te veralgemenen. Het vermoeden werd in 1966 weerlegd door Lander en Parkin door computer search, toen zij een tegenvoorbeeld ontdekten voor het geval k = 5, aangekondigd in het zogenaamde “Kortste artikel ooit gepubliceerd”:
Het speciale geval van k = 4 werd later weerlegd door Elkies (1986) die een methode ontdekte om oneindige reeksen tegenexamples te construeren. Zijn kleinste tegenvoorbeeld was: